上一章，我们考虑一个自治系统，介绍了李雅普诺夫稳定性。那么很自然的，如果一个自治系统本身并不稳定，有没有办法使得其变得稳定？显然只能从控制输入的角度，能否通过设计一种控制律，使得系统变得稳定。从闭环的角度思考，是不是可以设计一种闭环的控制策略？
State Feedback Design
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什么是状态反馈
考虑系统
\[\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ u = r - Kx \end{cases}\]如果 $A$ 不稳定，但是 $(A,B)$ 能控，我们可以选择合适的 $K$ 使得 $A-BK$ 稳定；如果 $A$ 的收敛速度太慢，同样可以选择合适的 $K$ 使得 $A-BK$ 稳定且加速收敛。
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状态反馈的性质
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状态反馈不改变系统的能控性
\[\begin{align} G_c &= \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix} \\ G_{c,K} &= \begin{bmatrix} B & (A - BK)B & \cdots & (A - BK)^{n-1}B \end{bmatrix} \\ &(A - BK)B = AB - B(KB) \\ &(A - BK)^2B = A^2B - B(KAB) - ABKB + BKBKB \\ &\cdots \\ \implies& \text{rank}(G_c) = \text{rank}(G_{c,K}) \end{align}\]（用人话来讲，新的能控矩阵 $G_{c,K}$ 能被原来的能控矩阵 $G_c$ 线性表示）
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状态反馈可能改变系统的能观性
从传递函数的角度理解：状态反馈改变了系统的极点，但是不改变系统的零点；那么新的极点可能会和原本的零点相消，导致能观性的丢失。
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$A-BK$ 的特征值能够被 $K$ 任意配置，当且仅当 $(A,B)$ 能控。
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如果 $(A,B)$ 不能控
- 首先需要进行能控性分解
- 设计 $K$ 保证能控部分稳定；不能控的部分看命（如果是稳定的最好，不稳定的话拉倒）
Observer Design
可能存在某些系统的状态量不能够直接得到，因此需要观测器来进行观测。
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观测器的设计
\[\begin{align} \text{origin system:} \quad & \dot{x} = Ax + Bu, \quad y = Cx \\ \text{observer system:} \quad & \dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - \hat{y}), \quad \hat{y} = C\hat{x} \end{align}\]
简单理解，就是用输入的误差量 $y - \hat{y}$ 来修正观测量 $\hat{x}$。我们期望状态观测的误差量 $e = x - \hat{x}$ 趋于零：
\[\dot{e} = \dot{x} - \dot{\hat{x}} = Ax + Bu - [(A - LC)\hat{x} + LCx + Bu] \\ = (A - LC)x - (A - LC)\hat{x} = (A - LC)e \\ \Rightarrow \dot{e} = (A - LC)e\]可以将 $\dot{e} = (A - LC)e$ 看成一个自治系统，要使得该系统收敛（误差趋于零），则需要选择合适的 $L$ 使得 $A - LC$ 稳定。
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观测器的性质
- $A-LC$ 的特征值能够被 $L$ 任意配置，当且仅当 $(A,C)$ 能观。
状态反馈的设计思路和观测器的设计思路是一致的。
Observer-Based Feedback
\(\begin{align}
\text{origin system:} \quad & \dot{x} = Ax + Bu, \quad y = Cx, \quad u = r-K\hat{x} \\
\text{observer system:} \quad & \dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - \hat{y}), \quad \hat{y} = C\hat{x}
\end{align}\)
推到可以得到： \(\begin{align} \dot{x} &= Ax - BK\hat{x} + Br \\ \dot{\hat{x}} &= A\hat{x} - BK\hat{x} + Br + LC(x - \hat{x}) \\ &= (A-BK-LC)\hat{x} + LCx + Br \end{align}\)
\[\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{\hat{x}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & -BK \\ LC & A - BK - LC \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ \hat{x} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B \\ B \end{bmatrix} r, y = \begin{bmatrix} C & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 0 \end{bmatrix}\]对于这样一个复合系统，我们同样希望系统的状态是收敛的（同时希望 $\mathbf{x}, \hat{\mathbf{x}}$ 收敛），即对系统的特征值有要求：
\[\begin{align} & \begin{vmatrix} z\mathbf{I} - \mathbf{A} & \mathbf{BK} \\ -\mathbf{LC} & z\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{LC} + \mathbf{BK} \end{vmatrix} = 0 \\ \text{列变换}\Rightarrow & \begin{vmatrix} z\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{BK} & \mathbf{BK} \\ z\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{BK} & z\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{LC} + \mathbf{BK} \end{vmatrix} = 0 \\ \text{行变换}\Rightarrow &\begin{vmatrix} z\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{BK} & \mathbf{BK} \\ 0 & z\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{LC} \end{vmatrix} = 0 \\ \Rightarrow &\left| z\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{BK} \right| \left| z\mathbf{I} - \mathbf{A} + \mathbf{LC} \right| = 0 \end{align}\]可以看到系统稳定的要求可以拆解成 原系统稳定 和 状态估计稳定，即 $\mathbf{K}$ 和 $\mathbf{L}$ 的设计是解耦的。
Reduced Order Observer
考虑输出方程：
\[y = Cx, \quad C \in R^{q \times n}\]假设 $C$ 是行满秩的：
- 如果 $rank(C) = q = n$ ，$x = C^{-1}y$ ，就不需要观测器了。
- 如果 $rank(C) = q = n$，假设 $y = \begin{bmatrix} C_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}, \quad C_1 \in R^{q\times q}$，那么 $x_1 = C^{-1}y$ ，仅需观测 $x_2$。
现在的问题是，如何使得 $C$ 呈现 $\begin{bmatrix} C_1 & 0 \end{bmatrix}$ 形式。
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令 $P = \begin{bmatrix} C \ R \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} P_1 & P_2 \end{bmatrix}$，其中 $R$ 是任意选择保证 $\begin{bmatrix} C \ R \end{bmatrix} \in R^{n \times n}$ 满秩的。
\[\begin{bmatrix} C \\ R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_1 & P_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_q & 0 \\ 0 & I_{n-q} \end{bmatrix} \implies C \begin{bmatrix} P_1 & P_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_q & 0 \end{bmatrix}\]同时，可以得到新的状态方程：
\[\begin{align*} \begin{bmatrix} \dot{\bar{x}}_1 \\ \dot{\bar{x}}_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x}_1 \\ \bar{x}_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \bar{B}_1 \\ \bar{B}_2 \end{bmatrix} u \\ y &= \begin{bmatrix} I_q & 0 \end{bmatrix} \bar{x} = \bar{x}_1 \end{align*}\] \[\bar{A} = P^{-1}AP, \bar{B} = P^{-1}B, \bar{C} = CP = \begin{bmatrix} I_q & 0 \end{bmatrix}\] \[\begin{align} &\begin{cases} \dot{\bar{x}}_1 = \bar{A}_{11} \bar{x}_1 + \bar{A}_{12} \bar{x}_2 + \bar{B}_1 u = \dot{y} \\ \dot{\bar{x}}_2 = \bar{A}_{22} \bar{x}_2 + \bar{A}_{21} \bar{x}_1 + \bar{B}_2 u \end{cases} \\ \implies & \begin{cases} \dot{\bar{x}}_2 = \bar{A}_{22} \bar{x}_2 + (\bar{A}_{21} y + \bar{B}_2 u) \\ \dot{y} - \bar{A}_{11} y - \bar{B}_1 u = \bar{A}_{12} \bar{x}_2 \end{cases} \\ \text{let} &\begin{cases} \bar{u} = \bar{A}_{21} y + \bar{B}_2 u \\ \bar{y} = \dot{y} - \bar{A}_{11} y - \bar{B}_1 u \end{cases} \\ \end{align}\]对于状态量 $\bar{x}_2$，需要建立一个观测器进行观测：
\[\begin{align} \dot{\hat{\bar{x}}}_2 &= \bar{A}_{22} \hat{\bar{x}}_2 + \bar{L}(\bar{y} - \bar{A}_{12} \hat{\bar{x}}_2) + \bar{u} \\ &= (\bar{A}_{22} - \bar{L} \bar{A}_{12}) \hat{\bar{x}}_2 + \bar{L}(\dot{y} - \bar{A}_{11} y - \bar{B}_1 u) + \bar{A}_{21} y + \bar{B}_2 u \end{align}\]可惜的是，上述式子中出现了 $\dot{y}$，这不是我们所期望的，因为这需要额外的操作来得到。对此，我们引入一个新的状态量 $z = \hat{\bar{x}}_2 - \bar{L}y$ （实际观测器中的变量）。
\[\begin{align} & \dot{\hat{\bar{x}}}_2 = (\dot{z} + \bar{L}\dot{y}) = (\bar{A}_{22} - \bar{L}\bar{A}_{12})\hat{\bar{x}}_2 + \bar{L}(\dot{y} - \bar{A}_{11}y - \bar{B}_1u) + \bar{A}_{21}y + \bar{B}_2u \\ \implies& \begin{cases} \dot{z} = (\bar{A}_{22} - \bar{L}\bar{A}_{12})z + (\bar{B}_2 - \bar{L}\bar{B}_1)u + [\bar{A}_{21} - \bar{L}\bar{A}_{11} + (\bar{A}_{22} - \bar{L}\bar{A}_{12})\bar{L}]y \\ \hat{\bar{x}}_2 = z + \bar{L}y \end{cases} \end{align}\] \[\begin{cases} F &= \bar{A}_{22} - \bar{L}\bar{A}_{12} \\ G &= \bar{A}_{21} - \bar{L}\bar{A}_{11} + (\bar{A}_{22} - \bar{L}\bar{A}_{12})\bar{L} \\ H &= \bar{B}_2 - \bar{L}\bar{B}_1 \\ \end{cases} \implies \begin{cases} \dot{z} &= Fz + Gy + Hu \\ \hat{\bar{x}}_2 &= z + \bar{L}y \end{cases}\]现在符号很多很乱哈。我们再明确一下目标，现在是想通过观测器来预测 $\bar{x}_2$，即 $\hat{\bar{x}}_2 - \bar{x}_2$ 误差趋于零，按照同样的思路：
\[\begin{align} \dot{\hat{\bar{x}}}_2 - \dot{\bar{x}}_2 &= (\bar{A}_{22} \hat{\bar{x}}_2 + \bar{L}(\bar{y} - \bar{A}_{12} \hat{\bar{x}}_2) + \bar{u}) - (\bar{A}_{22} \bar{x}_2 + \bar{u}) \\ &= \bar{A}_{22} \hat{\bar{x}}_2 - \bar{A}_{22} \bar{x}_2 + \bar{L}(\bar{A}_{12} \bar{x}_2 - \bar{A}_{12} \hat{\bar{x}}_2) \\ &= (\bar{A}_{22} - \bar{L}\bar{A}_{12})(\hat{\bar{x}}_2 - \bar{x}_2) \end{align}\]因此，我们需要设计的就是 $\bar{L}$ ，使得 $\bar{A}{22} - \bar{L}\bar{A}{12}$ 的特征值均小于 0。
最后，需要通过观测器的变量 $z$ 反变换回去，得到所需的 $\hat{\bar{x}}_2$ ，再将 $\hat{\bar{x}}$ 反变换回去得到 $\hat{x}$ 。
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总结
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选择合适的变换矩阵 $P$ ，使得 $CP = \begin{bmatrix} I_q & 0 \end{bmatrix}$
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计算得到 $\bar{A} = P^{-1}AP, \bar{B} = P^{-1}B$
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设计 $\bar{L}$ ，使得 $\bar{A}{22} - \bar{L}\bar{A}{12}$ 的特征值均小于 0
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将设计得到的 $\bar{L}$ ，代入
\[\begin{cases} F &= \bar{A}_{22} - \bar{L}\bar{A}_{12} \\ G &= \bar{A}_{21} - \bar{L}\bar{A}_{11} + (\bar{A}_{22} - \bar{L}\bar{A}_{12})\bar{L} \\ H &= \bar{B}_2 - \bar{L}\bar{B}_1 \\ \end{cases}\]得到降维观测器：
\[\begin{cases} \dot{z} &= Fz + Gy + Hu \\ \hat{\bar{x}}_2 &= z + \bar{L}y \end{cases}\] -
反向推导
\[\hat{\bar{x}} = \begin{bmatrix} \bar{x}_1 \\ \hat{\bar{x}}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ z + \bar{L}y \end{bmatrix} \\ \hat{x} = P\hat{\bar{x}}\]最终得到观测量 $\hat{x}$ 。
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