多变量过程系统概述
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定义：具有多个输入量或输出量的系统，又称多输入多输出系统，简称 MIMO
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多变量系统传递函数矩阵 \(G(s) = \begin{bmatrix} g_{11}(s) & g_{12}(s) & \cdots & g_{1m}(s) \\ g_{21}(s) & g_{22}(s) & \cdots & g_{2m}(s) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{n1}(s) & g_{n2}(s) & \cdots & g_{nm}(s) \end{bmatrix}\) n = m，方系统；n > m，瘦系统；n < m，胖系统。（n 对应输出量 y 的个数，m 对应控制量 u 的个数）
稳态增益矩阵：$K = G(0)$
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开环多变量系统的极点
每一个传递函数元素的所有极点的集合。 \(G(s) = \begin{bmatrix} \frac{1}{s+1} & \frac{1}{s+3} \\ \frac{1}{s+4} & \frac{1}{s+2} \end{bmatrix} \quad \implies \quad G(s) = \frac{\begin{bmatrix} (s+2)(s+3)(s+4) & (s+1)(s+2)(s+4) \\ (s+1)(s+2)(s+3) & (s+1)(s+3)(s+4) \end{bmatrix}}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)} \\ \text{极点在 s = -1, -2, -3 和 -4}\)
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开环多变量系统的零点
传递函数 $G(s)$ 倒数的极点。
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方系统
传递函数矩阵行列式的零点。 \(G^{-1}(s) = \frac{\text{Adj}[G(s)]}{|G(s)|} \implies |G(s)| = 0 \quad \text{的根即为零点}\)
\[G(s) = \begin{bmatrix} \frac{1}{s+1} & \frac{1}{s+3} \\ \frac{1}{s+4} & \frac{1}{s+2} \end{bmatrix} \implies |G(s)| = \frac{1}{(s+1)(s+2)} - \frac{1}{(s+3)(s+4)} = \frac{4s + 10}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)} \\ \text{零点在} \quad s = -\frac{10}{4}\] -
非方系统
使传递函数降秩的 $s$ 的值。
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闭环多变量系统的极点
选取控制器 $G_c(s)$，可得闭环传递函数： \(Y(s) = (I + GG_c)^{-1} GG_c Y_d + (I + GG_c)^{-1} G_d d(s)\) 其中 $G$ 是控制量 $U$ 到输出量 $Y$ 的开环传递函数，$G_d$ 是干扰量 $D$ 到输出量 $Y$ 的开环传递函数。
极点为特征矩阵多项式 $\left I-GG_c\right = 0$ 的根。 -
多变量系统稳定性
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状态空间形式 \(\begin{align*} \dot{X}(t) &= AX(t) + BU(t) + \Gamma d(t) \\ Y(t) &= CX(t) \end{align*}\) MIMO系统是开环稳定的，当且仅当矩阵A的所有特征值有负实部。
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传递函数形式
MIMO系统是开环稳定的，当且仅当传递函数矩阵的所有极点都在左半平面。
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多变量系统的耦合特性
某一特定的控制量可以影响多个输出量，即 $u_i$ 可以影响多个 $y_j$ 。
多变量过程系统的辨识
这一章的辨识均以 TITO （双输入双输出）系统为例。
开环测试
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初始时刻，$u_1 = u_2 = 0$，$y_1 = y_1^0(t_0)$，$y_2 = y_2^0(t_0)$
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令 $u_1 = h_1$，记录 $y_1, y_2$ 从变化到稳定的过程，这段时间记作 $[t_0,t_1]$。通过这一段时间的响应，可以辨识出 $g_{11},g_{21}$。 \(y_1:y_1^0(t_0) \rightarrow y_1^1(t_1) \\ y_2:y_2^0(t_0) \rightarrow y_2^1(t_1)\)
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再令 $u_2 = h2$，记录 $y_1, y_2$ 从变化到稳定的过程，这段时间记作 $[t_1,t_2]$。通过这一段时间的响应，可以辨识出 $g_{21},g_{22}$。 \(y_1:y_1^1(t_1) \rightarrow y_1^2(t_2) \\ y_2:y_2^1(t_1) \rightarrow y_2^2(t_2)\)
闭环测试
\(\begin{cases}
y_1 = G_{11}K_1 e_1 + G_{12}K_2 e_2 \\
y_2 = G_{21}K_1 e_1 + G_{22}K_2 e_2 \\
e_1 = r_1 - y_1 \\
e_2 = r_2 - y_2
\end{cases}\)
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初始时刻，$r_1 = r_1^0,r_2 = r_2^0, y_1 = y_1^0, y_2=y_2^0$，处于稳态
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令 $r_1 = r_1^1$，记录 $y_1, y_2$ 从变化到稳定的过程： \(y_1:y_1^0 \rightarrow y_1^1 \\ y_2:y_2^0 \rightarrow y_2^1\) 根据变化量可以得到以下等式： \(\begin{align*} \Delta e_1^1 &= e_1^1 - e_1^0 = (r_1^1 - y_1^1) - (r_1^0 - y_1^0) = (r_1^1 - r_1^0) - (y_1^1 - y_1^0) = \Delta r_1^1 - \Delta y_1^1 \quad \text{误差量变化} \\ \Delta e_2^1 &= e_2^1 - e_2^0 = (r_2^0 - y_2^1) - (r_2^0 - y_2^0) = -(y_2^1 - y_2^0) = -\Delta y_2^1\\ \Delta y_1^1 &= y_1^1 - y_1^0 = G_{11} K_1 \Delta e_1^1 + G_{12} K_2 \Delta e_2^1 \quad \text{输出量变化} \tag{1}\\ \Delta y_2^1 &= y_2^1 - y_2^0 = G_{21} K_1 \Delta e_1^1 + G_{22} K_2 \Delta e_2^1 \tag{2}\\ \end{align*}\) 等式中，$K_1,K_2$ 是已知的，$\Delta y_1,\Delta y_2,\Delta e_1, \Delta e_2$ 是可测、可计算的，未知系数只有 $G_{11},G_{12},G_{21},G_{22}$。
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再令 $r_2 = r_2^2$，记录 $y_1, y_2$ 从变化到稳定的过程： \(y_1:y_1^1 \rightarrow y_1^2 \\ y_2:y_2^1 \rightarrow y_2^2\) 根据新的变化量可以得到以下等式： \(\begin{align*} \Delta e_1^2 &= e_1^2 - e_1^1 = (r_1^1 - y_1^2) - (r_1^1 - y_1^1) = - (y_1^2 - y_1^1) = - \Delta y_1^2 \quad \text{误差量变化} \\ \Delta e_2^2 &= e_2^1 - e_2^0 = (r_2^2 - y_2^2) - (r_2^0 - y_2^1) = (r_2^2 - r_2^0) -(y_2^2 - y_2^1) = \Delta r_2^2 -\Delta y_2^2\\ \Delta y_1^2 &= y_1^2 - y_1^1 = G_{11} K_1 \Delta e_1^2 + G_{12} K_2 \Delta e_2^2 \quad \text{输出量变化}\tag{3}\\ \Delta y_2^2 &= y_2^2 - y_2^1 = G_{21} K_1 \Delta e_1^2 + G_{22} K_2 \Delta e_2^2 \tag{4} \\ \end{align*}\) 等式中，$K_1,K_2$ 是已知的，$\Delta y_1,\Delta y_2,\Delta e_1, \Delta e_2$ 是可测、可计算的，未知系数只有 $G_{11},G_{12},G_{21},G_{22}$。
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综合 $(1)(2)(3)(4)$ 四条式子 \(Y = \begin{bmatrix} \Delta y_1^1 \\ \Delta y_1^2 \\ \Delta y_2^1 \\ \Delta y_2^2 \end{bmatrix}; \quad A = \begin{bmatrix} \Delta u_1^1 & \Delta u_2^1 & 0 & 0 \\ \Delta u_1^2 & \Delta u_2^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \Delta u_1^1 & \Delta u_2^1 \\ 0 & 0 & \Delta u_1^2 & \Delta u_2^2 \end{bmatrix}; \quad X = \begin{bmatrix} G_{11} \\ G_{12} \\ G_{21} \\ G_{22} \end{bmatrix}\) 其中 $\Delta u = K \Delta e$， \(X = A^{-1}Y\) 当然，$A$ 可逆的充要条件是 $K_1 \neq 0, K_2 \neq 0$。（进一步推广 $G_{c_1} \neq 0, G_{c_2} \neq 0$）
对于 TITO 系统，闭环测试需要 2 次测试；对于 n 阶的 MIMO 系统，闭环测试需要 n 次测试，原理同上。
多变量过程系统的控制
- 可控性定义：干扰下系统被控变量可维持在设定值，则称系统是可控的。
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可控性计算：如果系统的稳态增益矩阵 $K = G(0)$ 是可逆的，则系统可控，即 $\left K \right \neq 0$。
解耦
- 耦合： 控制变量与被控变量之间是相互影响的， 一个控制变量的改变同时引起几个被控变量变换的现象，即某一个 $u_i$ 可以影响多个 $y_j$ 。
- 解耦： 消除系统之间的相互耦合，使各系统成为独立的互不相关的控制回路。
接下来将介绍几种方法，实现多变量过程系统中变量之间的解耦。
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前馈补偿解耦
\[\begin{align} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1 - D_{21}D_{12}} \begin{pmatrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & D_{12} \\ D_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{c1} \\ u_{c2} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{1 - D_{21}D_{12}} \begin{pmatrix} G_{11} + G_{12}D_{21} & G_{11}D_{12} + G_{12} \\ G_{21} + G_{22}D_{21} & G_{21}D_{12} + G_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{c1} \\ u_{c2} \end{pmatrix} \end{align}\]
\(\begin{cases}
u_1 = u_{c1} + u_2 D_{12} \\
u_2 = u_{c2} + u_1 D_{21}
\end{cases}
\implies
\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{1 - D_{21}D_{12}} \begin{pmatrix} 1 & D_{12} \\ D_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{c1} \\ u_{c2} \end{pmatrix}\)要求输入和输出之间解耦，因此 \(\left\{ \begin{aligned} G_{11}D_{12} + G_{12} &= 0 \\ G_{21} + G_{22}D_{21} &= 0 \end{aligned} \right. \quad \Longrightarrow \quad D_{12} = -\frac{G_{12}}{G_{11}}; \, D_{21} = -\frac{G_{21}}{G_{22}}\)
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对角矩阵法
\(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} D_{11} & D_{12} \\ D_{21} & D_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{c1} \\ u_{c2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} G_{11} & 0 \\ 0 & G_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{c1} \\ u_{c2} \end{pmatrix}\)
第二个等号的结果是人为设定的。什么意思呢？我希望引入 $D$ 这么一个矩阵，使得 $G$ 矩阵对角线上的元素不变，非对角线上的元素变为 0 。因此，
\(\begin{align}
\begin{pmatrix} D_{11} & D_{12} \\ D_{21} & D_{22} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} G_{11} & 0 \\ 0 & G_{22} \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{G_{11}G_{22} - G_{12}G_{21}} \begin{pmatrix} G_{22} & -G_{12} \\ -G_{21} & G_{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} G_{11} & 0 \\ 0 & G_{22} \end{pmatrix}
\end{align}\) -
单位矩阵法（特殊的对角矩阵法） \(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} D_{11} & D_{12} \\ D_{21} & D_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{c1} \\ u_{c2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{c1} \\ u_{c2} \end{pmatrix}\) 第二个等号的结果是人为设定的。什么意思呢？我希望引入 $D$ 这么一个矩阵，使得 $GD$ 矩阵变成单位阵。因此， \(\begin{align} \begin{pmatrix} D_{11} & D_{12} \\ D_{21} & D_{22} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{pmatrix}^{-1} \\ &= \frac{1}{G_{11}G_{22} - G_{12}G_{21}} \begin{pmatrix} G_{22} & -G_{12} \\ -G_{21} & G_{11} \end{pmatrix} \end{align}\)
配对
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相对增益矩阵 RGA（Relative Gain Array）：
需要一个东西来评价变量之间的耦合程度，再去配对。
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计算式：$\Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_{ij} \end{bmatrix} = K \odot K^{-T}$
其中 $K$ 是稳态增益矩阵，$\odot$ 是对应位置元素相乘，$K^{-T}$ 是先求逆后转置。
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定义式：$\lambda_{ij} = \frac{\text{开环增益}}{\text{闭环增益}}_{\text{除} m_j \text{回路外所有回路均闭环}}$
- 开环增益：系统在开环（所有回路）情况下，其他 $u_r(r\neq j)$ 都保持不变，输出 $y_i$ 和输入 $u_j$ 之间的稳态传递关系
- 闭环增益：在除 $m_j$ 回路外所有回路闭环的情况下，其他 $y_r(r\neq i)$ 都保持不变，输出 $y_i$ 和输入 $u_j$ 之间的稳态传递关系
这么说非常的抽象，下面举一个具体的例子（求 $\lambda_{11}$，这张图画的是 $m_1$ 回路开环，$m_2$ 回路闭环，在求开环增益的时候，请把 $m_2$ 回路也当成开环来做）：
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开环增益
可以非常轻松的得到开环传递函数，即 $g_{11}(s)$，因此稳态传递关系即为 $\lim_{s\rightarrow0} g_{11}(s) = K_{11}$
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闭环增益
这里需要注意的是，定义中提到了要保持 $y_2$ 不变，注意求解 RGA 时，$r_2 = 0$，因此稳态情况下 $y_2 = 0$。所以， \(0 = y_2 = u_2g_{22} + u_1g_{21} \implies u_2 = -\frac{u_1g_{21}}{g_{22}} \\ \frac{y_1}{u_1} = g_{11} + (- \frac{g_{12}g_{21}}{g_{22}})\) 因此稳态传递关系即为 $\lim_{s\rightarrow0}[g_{11} - \frac{g_{12}g_{21}}{g_{22}}] = K_{11} - \frac{K_{12}K_{21}}{K_{22}}$ 。
综上，$\lambda_{11} = \frac{1}{1- \frac{K_{12}K_{21}}{K_{11}K_{22}}}$
- 耦合程度评价
- $0.8< λ_{ij} <1.2$，其它通道对该通道的关联作用很小，无需进行解耦系统设计。
- 小于零或接近于零，这个通道的变量选配不适当，应重新选择。
- $0.3＜ λ_{ij}＜ 0.7$ 或 $λ_{ij}＞ 1.5$，存在着非常严重的耦合。需要考虑进行解耦设计或采用多变量控制系统设计方法。
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RGA的性质
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任一行或者列的元素和为1 \(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \lambda_{ij} = 1\)
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改变控制变量的计量单位或被控变量的量程不会改变 $\lambda_{ij}$
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NI（Niederlinski）指数
\(NI = \frac{\text{det } K}{\prod_{i=1}^{n} k_{ii}}\) 𝑵𝑰 < 𝟎 时，所有回路均闭合后，无论控制器参数取何值系统都是不稳定的。必须保证 𝑵𝑰 > 𝟎。 -
基于𝑹𝑮𝑨 - 𝑵𝑰 的多变量系统回路配对规则
- 给定 G(s)，计算稳态增益矩阵 K， RGA(Λ)；
- 根据 Λ 元素接近1的程度，得到试探性的回路配对方案；
- 验证NI指数的正负，如果NI为正，则控制结构稳定，反之，选择其他方案。
基于𝑹𝑮𝑨 - 𝑵𝑰 的回路配对规则仅仅利用了静态信息，因此提供的配对方案有时欠妥。
控制
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分散控制
假设每个回路是对角配对：
\(\begin{align}
y_j &= \Sigma g_{il}(s)u_l(s) \\
&= g_{ij}u_j + \Sigma g_{il}(s)u_l(s)\\
&= g_{ij}u_j + \Sigma g_{il}(s)[c_l(s)(r_l(s) - y_l(s))] \\
&= g_{ij}u_j - \Sigma g_{il}(s)[c_l(s)y_l(s)] \quad \text{只能假设} r_l = 0 \\
&= g_{ij}u_j + a_{ij}u_j
\end{align}\)
对于具体的 TITO 系统分析：
\(\begin{align}
\frac{Y_1(s)}{U_1(s)} &= G_{11}(s) - \frac{G_{12}(s)G_{21}(s)G_{c2}(s)}{1 + G_{c2}(s)G_{22}(s)} \\
\frac{Y_2(s)}{U_2(s)} &= G_{22}(s) - \frac{G_{12}(s)G_{21}(s)G_{c1}(s)}{1 + G_{c1}(s)G_{11}(s)} \\
\frac{Y_1(s)}{Y_{sp_1}(s)} &= \frac{G_{c1}(s)\frac{Y_1(s)}{U_1(s)}}{1+G_{c1}(s)\frac{Y_1(s)}{U_1(s)}} = \frac{G_{c1}(s)G_{11}(s) + G_{c1}(s)G_{c2}(s)[G_{11}(s)G_{22}(s) - G_{12}(s)G_{21}(s)]}{G_{cl}(s)} \\
\frac{Y_2(s)}{Y_{sp_2}(s)} &= \frac{G_{c2}(s)\frac{Y_2(s)}{U_2(s)}}{1+G_{c2}(s)\frac{Y_2(s)}{U_2(s)}} = \frac{G_{c2}(s)G_{22}(s) + G_{c1}(s)G_{c2}(s)[G_{11}(s)G_{22}(s) - G_{12}(s)G_{21}(s)]}{G_{cl}(s)} \\
G_{cl}(s) &= 1 + G_{c1}(s)G_{11}(s) + G_{c2}(s)G_{22}(s) + G_{c1}(s)G_{c2}(s)[G_{11}(s)G_{22}(s) - G_{12}(s)G_{21}(s)]
\end{align}\)其中， $G_{cl}$ 是两个回路的闭环传递函数的特征方程。
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RGA 失调因子法
（屎中屎，接下来我在胡言乱语，请不要问为什么，因为我也不知道为什么）
采用动态RGA（DRGA）： \(\lambda(s) = \frac{1}{1 - \frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{G_{11}(s)G_{22}(s)}}\) 将此代入 $G_{cl}$： \(\begin{align} G_{cl}(s) &= 1 + G_{c1}(s)G_{11}(s) + G_{c2}(s)G_{22}(s) + G_{c1}(s)G_{c2}(s)[G_{11}(s)G_{22}(s) - G_{12}(s)G_{21}(s)] \\ &= 1 + G_{c1}(s)G_{11}(s) + G_{c2}(s)G_{22}(s) + \frac{G_{c1}(s)G_{c2}(s)G_{11}(s)G_{22}(s)}{\lambda(s)} \end{align}\) 为分析回路1与回路2的动态特性，将特征方程 $G_{cl}$ 除以 $1+ G_{c2}(s)G_{22}(s)$ \(\begin{align} \bar{G}_{cl}(s) &= \frac{1 + G_{c1}(s)G_{11}(s) + G_{c2}(s)G_{22}(s) + \frac{G_{c1}(s)G_{c2}(s)G_{11}(s)G_{22}(s)}{\lambda(s)}}{1 + G_{c2}(s)G_{22}(s)} \\ &= 1 + G_{c1}(s)G_{11}(s) \left[ \frac{1 + \frac{G_{c2}(s)G_{22}(s)}{\lambda(s)}}{1 + G_{c2}(s)G_{22}(s)} \right] \end{align}\)
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回路1的动态特性比回路2快
此时 $\lambda(s)$ 趋于 1，$\bar{G}{cl}(s) \approx 1 + G{c1}(s)G_{11}(s)$ 。将较慢回路对较快回路的关联作用看作较快回路的一个慢扰动，较快的回路用单回路的方法调整控制器。也就是说此时回路 1 的控制器无需调整。
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回路 1 的动态特性比回路 2 慢
此时 $\lambda(s)$ 趋于 0，$\bar{G}{cl}(s) \approx G{c1}(s)\frac{G_{11}(s)}{\lambda(s)}$ 。较快的回路看作是“过程的一部分”，只影响闭环过程的增益。因此，原来回路 1 的控制器的比例系数需要乘 $\lambda_{11}$ 。
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回路1和2具有相同的动态特性
此时 $\bar{G}{cl}(s) \approx 1 + 2\Lambda(s) + \frac{\Lambda^2(s)}{\lambda{11}}$，其中 $\Lambda(s) = G_{c1}(s)G_{11}(s) \approx G_{c2}(s)G_{22}(s), \quad \Lambda = \lambda_{11} + \sqrt{\lambda_{11}^2 - \lambda_{11}}$ 。由于回路间的相互关联影响了幅值和相角滞后，所以要调节控制器的增益和积分时间维持适当的稳定裕度。因此，PID最外面的系数需要乘失调因子： \(\begin{cases} \lambda - \sqrt{\lambda^2 - \lambda}, & \lambda > 1.0 \\ |\lambda + \sqrt{\lambda^2 - \lambda}|, & \lambda < 1.0 \quad \text{复数取模} \end{cases}\)
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独立设计法
由分散控制部分的分析可以得到： \(\begin{align} G_1(s) = \frac{Y_1(s)}{U_1(s)} &= G_{11}(s) - \frac{G_{12}(s)G_{21}(s)G_{c2}(s)}{1 + G_{c2}(s)G_{22}(s)} \\ G_2(s) = \frac{Y_2(s)}{U_2(s)} &= G_{22}(s) - \frac{G_{12}(s)G_{21}(s)G_{c1}(s)}{1 + G_{c1}(s)G_{11}(s)} \\ \end{align}\) 可以发现其中耦合了 $G_{c1}$ 和 $G_{c2}$，这是我们不希望的。
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若 $G_{11}(s)$ 和 $G_{22}(s)$不包含不稳定的零点或纯滞后比 $L_{21}(s)+L_{12}(s)$ 小，则 \(\begin{align*} G_1(s) &= G_{11}(s) - \frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \quad \text{for} \quad G_{22}(s)G_{c2}(s) > 1 \\ G_2(s) &= G_{22}(s) - \frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{G_{11}(s)} \quad \text{for} \quad G_{11}(s)G_{c1}(s) > 1 \end{align*}\)
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若 $G_{11}(s)$ 和 $G_{22}(s)$ 包含不稳定的零点或纯滞后比 $L_{21}(s)+L_{12}(s)$ 大，则 \(\begin{align*} G_1(s) &= G_{11}(s) - \frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{K_{22}} \\ G_2(s) &= G_{22}(s) - \frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{K_{11}} \end{align*}\)
接下来，控制器设计就可以每个回路单独设计了。参考《复杂系统设计》中，开环不稳定系统两步法的外环设计步骤。
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