【过程控制系统】-复杂系统控制（5）

高级过程系统的控制器设计

直接合成

已知期望闭环传递函数 $G_{cl}(s)$ ，反推控制器设计 $G_c(s)$
\[G_{cl}(s) = \frac{G_c(s)G(s)}{1 + G_c(s)G(s)} \implies G_c(s) = \frac{1}{G(s)} \frac{G_{cl}(s)}{1-G_{cl}(s)}\]
其中，Plant 建模 $G(s)$ 可以通过系统辨识的方法，得到 $\hat{G}(s)$
Example
- 例题 1
  
  已知期望闭环传递函数 $G_{cl}(s) = \frac{1}{\tau_cs+1}$，系统辨识得到的 Plant 建模为 $\hat{G}(s) = \frac{K}{\tau s+1}$
  \[G_c(s) = \frac{1}{\hat{G}(s)} \frac{G_{cl}(s)}{1-G_{cl}(s)} = \frac{\tau s +1}{K\tau_cs} = \frac{\tau}{K\tau_c} + \frac{1}{K\tau_cs}, \quad \text{PI 控制器}\]
- 例题 2
  
  已知期望闭环传递函数 $G_{cl}(s) = \frac{1-\frac{\theta}{2}s}{\tau_cs+1}$，系统辨识得到的 Plant 建模为 $\hat{G}(s) = \frac{Ke^{-\theta s}}{\tau s+1}$
  \[\text{Pade 近似：} \quad \hat{G}(s) = \frac{Ke^{-\theta s}}{\tau s+1} \approx \frac{K(1-\frac{\theta}{2}s)}{(\tau s +1)(1+\frac{\theta}{2}s)} \\ G_c(s) = \frac{1}{\hat{G}(s)} \frac{G_{cl}(s)}{1-G_{cl}(s)} = \frac{(\tau s +1)(1+\frac{\theta}{2}s)}{K(1-\frac{\theta}{2}s)} \frac{1-\frac{\theta}{2}s}{(\tau_c+\frac{\theta}{2})s} = \frac{(\tau s +1)(1+\frac{\theta}{2}s)}{K(\tau_c+\frac{\theta}{2})s}, \quad \text{PID 控制器}\]

内模控制

框图中，$G_{IMC}(s)$ 就是我们要设计的控制器，$\hat{G}_p(s)$ 是系统辨识得到的 Plant 建模，$G_p(s)$ 是真实的 Plant 建模。

内模控制设计步骤
1. 将 Plant 模型 $\hat{G}_p(s)$ 分解为可逆部分 $\hat{G}_p^-(s)$ 和不可逆部分 $\hat{G}_p^+(s)$
  
  可逆部分指的是，$\frac{1}{\hat{G}_p^-(s)}$ 无右半平面极点；不可逆部分 $\hat{G}_p^+(s)$ 包含右半平面零点
2. $G_{IMC}(s) = G_f(s)\frac{1}{\hat{G}_p^-(s)}$，其中 $G_f(s)$ 为低通滤波器，以确保系统的稳定性和可实现性
  
  低通滤波器的阶次选择有两种方式：一，直接保证 $G_{IMC}(s)$ 可实现，即分子分母阶次一致；二，使得 $G_c(s)$ 可以分解为 PID 控制器的形式，即 $G_c(s)$ 的分子比分母高一阶
Example

已知 $\hat{G}p(s) = \frac{K}{\tau_p s + 1}e^{-\theta s}$，设计内模控制器 $G{IMC}(s)$：
1. 对纯滞后使用一阶 Pade 近似
  \[\hat{G}_p(s) = \frac{K}{\tau_p s + 1}e^{-\theta s} \approx \frac{K(1-0.5\theta s)}{(\tau_p s + 1)(1+0.5\theta s)}\]
2. 分解出可逆和不可逆部分
  \[\hat{G}_p^-(s) = \frac{K}{(\tau_p s + 1)(1+0.5\theta s)}, \quad \hat{G}_p^+(s) = 1-0.5\theta s\]
3. 添加低通滤波器
  
  这里选择的是保证最后的 $G_c(s)$ 可以分解为 PID 控制器的形式，滤波器选择一阶，即 $G_f(s) = \frac{1}{1+\alpha s}$
  \[G_{IMC}(s) = \frac{(\tau_p s + 1)(1+0.5\theta s)}{K} \frac{1}{1+\alpha s} \\ G_c(s) = \frac{G_{IMC}(s)}{1-\hat{G}_p(s)G_{IMC}(s)} = \frac{(\tau_p s + 1)(0.5\theta s + 1)}{K(\alpha + 0.5\theta)s}\]

复杂动态系统的控制器设计

时延系统的设计

对于时延系统的控制器设计，其实有很多方法，比如上一节提到的直接合成法和内模控制，通过一阶 Pade 近似能够给出控制器设计。而这一小节将介绍 Smith 预估器：

由上图可知，Smith 预估器是在原本的系统框图中加入了一条新的反馈线路，从而得到新的控制器 $G_c^\star(s)$。$\hat{G}^\star(s)$ 和 $\hat{\alpha}$ 是对真实 Plant 建模系统辨识的结果。而这前后发生了什么变化：

\[\begin{align} &\text{原系统闭环传递函数} =\frac{G_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}}{1 + G_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}} \\ \end{align}\] \[\begin{align} \text{新系统闭环传递函数} &=\frac{G^\star_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}}{1 + G^\star_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}}, \quad G^\star_c(s) = \frac{G_c(s)}{1 + G_c(s)\hat{G}^\star(s)(1-e^{-\hat{\alpha s}})} \\ &= \frac{G_c(s)G^\star(s)}{1 + G_c(s)G^\star(s)} e^{-\alpha s}, \quad \text{假设系统辨识完全精准} \end{align}\]

优点：

通过 Smith 补偿器，使得系统的闭环特征方程不再含时滞项。
缺陷：
- 对建模误差敏感
- 不能完全地补充滞后效应，系统将存在滞后余差
- 不能抑制干扰
改进的Smith预估器：抑制干扰

假设系统辨识是完全准确的，即 $\hat{G}^\star(s) = G^\star(s), \hat{\alpha} = \alpha$：
\[G_c^\star(s) = \frac{G_c(s)}{1+G^\star(s)G_f(s) + G_c(s)G^\star(s)[1-e^{-\alpha s}]}\] \[\begin{align} \frac{Y(s)}{D(s)} &= \frac{G^\star(s)e^{-\alpha s}}{1 + G_c^\star(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}} \\ &= \frac{G^\star(s)e^{-\alpha s}}{1 + \frac{G_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}}{1+G^\star(s)G_f(s) + G_c(s)G^\star(s)[1-e^{-\alpha s}]}} \\ &= \frac{[1+G^\star(s)G_f(s) + G_c(s)G^\star(s)[1-e^{-\alpha s}]]G^\star(s)e^{-\alpha s}}{1+G^\star(s)G_f(s) + G_c(s)G^\star(s)[1-e^{-\alpha s}] + G_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}} \end{align}\]
想要抑制干扰，即希望 $\frac{Y(s)}{D(s)} = 0$，因此滤波器 $G_f(s)$ 的设计可以确定：
\[G_f(s) = -\frac{1 + G_c(s)G^\star(s)[1-e^{-\alpha s}]}{G^\star(s)}\]
此时，系统的闭环传递函数顺势确定下来：
\[\begin{align} \frac{Y(s)}{R(s)} &= \frac{G^\star_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}}{1 + G^\star_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}} \\ &= \frac{G_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}}{1+G^\star(s)G_f(s) + G_c(s)G^\star(s)[1-e^{-\alpha s}] + G_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}} \\ &= \frac{G_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}}{G_c(s)G^\star(s)e^{-\alpha s}} \\ &= 1 \end{align}\]
因此，系统可完全跟踪参考信号且不受扰动的影响。

负响应系统的设计

负响应系统是指当过程阶跃响应的初始方向与稳态值方向相反，呈现出一种负相特性的系统。

如何判定一个系统是负响应系统（系统是负响应系统的条件）

Example：$G(s) = \frac{K_1}{1 + \tau_1 s} - \frac{K_2}{1 + \tau_2 s}$
\[G(s) = \frac{K_1}{1 + \tau_1 s} - \frac{K_2}{1 + \tau_2 s} = \frac{(K_1 - K_2)\left(1 - \frac{K_2 \tau_1 - K_1 \tau_2}{K_1 - K_2}s\right)}{(1 + \tau_1 s)(1 + \tau_2 s)} \\ \eta = \frac{K_2 \tau_1 - K_1 \tau_2}{K_1 - K_2} = \left(\frac{K_2}{\tau_2} - \frac{K_1}{\tau_1}\right) \frac{\tau_1 \tau_2}{K_1 - K_2}>0 \implies K_1 > 0, \, K_2 > 0, \, K_1 - K_2 > 0 \text{ 且 } \frac{K_2}{\tau_2} > \frac{K_1}{\tau_1}\]
问题

那么，对于形如 $G(s) = G^0(s)(1-\eta s), \eta > 0$ 的负响应系统，会有什么问题呢？（以下是我个人的理解）

首先看这样的一个框图，先不加控制器，给阶跃输入，会出什么问题？我们知道对于负响应系统，它的阶跃响应一开始是负的，也就是上述框图中的反馈信号。那么紧接着就出现了正反馈，正反馈会导致整个系统的输出彻底跑飞，也就是系统的不稳定性。

那么该如何设计控制器，使得整体的系统稳定？

一般方法：直接合成法、内模控制法、用 ZN 法设计 PID ……

就把负响应系统当作一个正常的 Plant，然后直接从整体入手，保证整体系统的稳定性。（我尝试用内模控制，仿真结果是稳定的）
**负响应补偿法 **

类似于 Smith 预估器，负响应补偿法同样是引入了一条新的反馈回路。目的是为了保证反馈信号始终为正，不出现正反馈。
\[\text{反馈信号} = U(s)[G^0(s)\lambda s + G^0(s)(1 - \eta s)], \quad U(s) \text{是} G_c(s) \text{的输出}\]
一般，会选择 $\lambda = 2\eta$，这样就可以保证反馈信号不会出现负响应，也就避免了正反馈的出现，保证了系统的稳定性。

开环不稳定系统的设计

至少有一个右半平面的极点的系统称为开环不稳定系统。For example，

\[G(s) = \frac{K}{\tau s - 1}, \quad \tau > 1\]

对于开环不稳定系统，开环模型辨识是不可能的，必须在控制作用下进行建模实验。这一节讨论的是其控制器设计。

P 控制器
\[\begin{align} \text{开环传递函数：} \quad& G_c(s)G(s) = \frac{K_cK}{\tau s - 1} \\ \text{特征方程：} \quad& \tau s - 1 + K_cK = 0 \implies \text{极点 } s = \frac{1-K_cK}{\tau} \end{align}\]
若要稳定，则 $s = \frac{1-K_cK}{\tau} < 0 \implies K_c > \frac{1}{K}$
PI 控制器
\[\begin{align} \text{开环传递函数：} \quad& G_c(s)G(s) = K_c(1+\frac{1}{\tau_is}) \frac{K}{\tau s - 1} \\ \text{特征方程：} \quad& \tau_i\tau s^2 + (KK_c-1)\tau_is + KK_c = 0 \end{align}\]
因为控制器有两个参数需要确定，不能根据特征方程。需要给定期望的极点位置，就可以通过韦达定理确定 $K_c, \tau_i$ 和 $K,\tau$ 之间的关系。下面举个例子：期望极点落在 $s = -2 , -4$

\[\begin{cases} s_1 + s_2 = \frac{1-KK_c}{\tau_i\tau} \\ s_1s_2 = \frac{KK_c}{\tau_i\tau} \end{cases} \implies \begin{cases} \tau_i = \frac{1}{\tau(s_1s_2 + s_1 + s_2)} = \frac{1}{\tau}\\ K_c = \frac{s_1s_2}{K(s_1s_2 + s_1 + s_2)} = \frac{4}{K} \end{cases}\]

PD 控制器

同理，课件上是错的，你自己练习去吧！
两步法

\[G_p(s) = \frac{K}{T s - 1} e^{-Ls}\]
- 内环
  \[\begin{align} \text{传递函数：} \quad& G_l(s) = \frac{G_p(s)}{1 + K_lG_p(s)} = \frac{Ke^{-Ls}}{Ts-1 + K_lKe^{-Ls}} \approx \frac{Ke^{-Ls}}{Ts-1 + K_lK(1-Ls+0.5L^2s^2)} \\ \text{特征方程：} \quad& 0.5K_lKL^2s^2 + (T-K_lKL)s + K_lK - 1 = 0 \end{align}\]
  由劳斯判据可以得到 $K_l$ 的稳定范围：
  \[\begin{align} s^2 \mid \quad & 0.5K_lKL^2 & K_lK - 1\\ s^1 \mid \quad & T-K_lKL & 0\\ s^0 \mid \quad & K_lK - 1 \end{align} \quad \implies \quad \begin{cases} 0.5K_lKL^2 > 0 \\ T-K_lKL > 0 \\ K_lK - 1 > 0\\ \end{cases} \implies \frac{1}{K} \leq K_l \leq \frac{T}{KL}\]
  一般取 $K_l = \frac{1}{K}\sqrt{\frac{T}{L}}$ 。此时传递函数为：
  \[G_l(s) = \frac{e^{-Ls}}{(0.5 \frac{L}{K} \sqrt{TL})s^2 + \frac{1}{K}(T - \sqrt{TL})s + \frac{1}{K}(\sqrt{\frac{T}{L}} - 1)}\]
- 外环
  
  假设 PID 控制器的形式：
  \[G_c(s) = k(\frac{As^2 + Bs + C}{s}) \\ A = (0.5 \frac{L}{K} \sqrt{TL}), \quad B = \frac{1}{K}(T - \sqrt{TL}), \quad C = \frac{1}{K}(\sqrt{\frac{T}{L}} - 1)\]
  此时，整体系统的开环传递函数为：
  \[G_c(s)G_l(s) = \frac{ke^{-Ls}}{s}\]
  现对该开环传递函数提出相角裕度和幅值裕度的要求，即 $\Phi_m, A_m$：
  \[\begin{align} &\begin{cases} \arg \left[ G_c(j\omega_g) G_p'(j\omega_g) \right] = -\pi \implies -\omega_gL - \frac{\pi}{2} = -\pi \implies \omega_g = \frac{\pi}{2L} \\ A_m \left| G_c(j\omega_g) G_p'(j\omega_g) \right| = 1 \implies A_m\frac{k}{\omega_g} = 1 \implies k = \frac{\omega_g}{A_m} = \frac{\pi}{2A_mL} \end{cases} \\ &\begin{cases} \left| G_c(j\omega_p) G_p'(j\omega_p) \right| = 1 \implies \frac{k}{\omega_p} = 1 \implies k = \omega_p \\ \Phi_m = \pi + \arg \left[ G_c(j\omega_p) G_p'(j\omega_p) \right] \implies \Phi_m = \frac{\pi}{2} - \omega_p L \implies k = \frac{\frac{\pi}{2} - \Phi_m}{L}\\ \end{cases} \end{align}\]
  任意选择一组式子，都能够求得系数 $k$ 。假设要求 $\Phi_m = \frac{\pi}{3}, A_m = 3$，可以得到 $k = \frac{\pi}{6L}$ 。

复杂结构系统的控制器设计

串级控制

定义：是指两个或两个以上的调节器串联起来工作，其中一个调节器的输出作为另一个调节器的给定值的系统。

前馈+反馈控制

采用前馈控制系统的条件是
- 扰动可测但是不可控
- 变化频繁且变化幅度大的扰动
- 扰动对被控变量影响显著，反馈控制难以及时克服，且过程对控制精度要求又十分严格的情况
**前馈-反馈复合控制系统框图 **

\[y = \frac{GG_c}{1+GG_ch}y_d + \frac{G_d + GG_{ff}}{1+GG_ch}d \\ \text{抑制干扰} \implies G_{ff} = -\frac{G_d}{G}\]

比值控制

定义：用来实现两个或以上参数之间保持一定比值关系的过程控制系统。
特点：主要是流量浓度的混合，实现两种物料的流量保持一定的比值关系。
主流量与副流量的选择
- 如果两种物料中, 一种是可控的, 另一种是不可控的，选不可控物料为主流量，可控物料为副流量。
- 如果两种物料中一种供应不成问题, 另一种可能出现供应不足, 应选可能供应不足的物料为主流量。
- 价格较昂贵的物料流量一般选为主流量。
比值控制系统方案的选择
- 主动量不可控时，选用单闭环比值控制系统
- 主动量可控可测，并且变化较大时，宜选双闭环比值控制系统
- 当比值根据生产过程的需要由另一个控制器进行调节时，应选择变比值控制系统
开环比值控制系统
单闭环比值控制系统
双闭环比值控制系统
变比值控制系统

选择控制

定义：能根据生产状态自动选择合适的控制方案的控制系统
分类：对控制器输出信号进行选择；对变送器输出信号进行选择
对控制器输出信号进行选择

控制目标：维持蒸汽压力稳定

控制原理：阀门越大，燃气流量越大，蒸汽压力越大；反之

低选器 LS：避免阀门一下子开太大，会爆炸

高选器 HS：避免阀门关太小，会熄火
对变送器输出信号进行选择

控制目标：维持反应器中最高温度不要过高

控制原理：阀门越大，冷却液流量越大，反应器温度越下降；反之

高选器 HS：选择反应器中最高的温度作为反馈信号，保证最高温部分的温度不过高
**控制器调节规律的确定 **（选择控制器那类）

正常工况下运行的调节器，由于有较高的控制精度要求，可用 PI 控制或 PID 控制。

对于取代控制器，一般只要求其迅速发挥保护作用，可用 P 控制。

分程控制

定义：将一个控制器的输出同时送往两个或多个执行器，而各个执行器的工作范围不同，这样的系统称之为分程控制系统。

用人话来讲，假设控制器输出的控制信号范围是0~100，对于执行器1，控制信号在 0~50 范围内变化时，其操纵变量会变，而当控制信号在 50~100 范围内变化时，其操纵变量保持不变；对于执行器2，控制信号在 0~50 范围内变化时，其操纵变量保持不变，而当控制信号在 50~100 范围内变化时，其操纵变量会变。
分程控制系统的类型：
- 调节阀同向动作
- 调节阀异（反）向动作
  
  上述坐标系，横坐标为控制器输出信号，纵坐标为执行器对应的操纵变量。
调节阀特性选择与应注意的问题
- 控制器输出信号需要分成几段，哪一段信号控制哪一个调节阀，完全取决于工艺要求
- 流量特性的平滑衔接
  
  （这张图的曲线是将两个执行器曲线线性叠加后得到的）一般来说，不希望总流量特性有突变点，这会影响系统控制品质。可以通过两个调节阀分程信号部分重迭的办法，使调节阀流量特性实现平滑过渡，即将两个阀的工作范围扩大，形成一段重迭区。
- 调节阀的泄漏量
  
  当大、小阀并联工作时，若大阀的泄漏量接近或大于小阀的正常的调节量，则小阀的调节能力大大降低。

均匀控制

在连续生产过程中，有些装置前后紧密联系，前一设备的出料，往往是后一设备的进料；设备操作之间互相关联、互相影响。均匀控制系统，对操纵变量(Manipulate Variable)与被控变量(Controlled Variable)都有平稳的要求。举个例子：

当塔甲的进料量 $q_i(t)$ 变化时，希望被控变量塔甲的液位 $h(t)$ 与操纵变量出料 $q_o(t)$ 同时平稳，以确保后续设备进料波动的减少。希望如下图 c) 一样，都是平稳变化。

均匀控制方案
控制规律选择

简单均匀控制系统的控制器及串级均匀控制系统的主控制器一般采用纯比例控制，有时也可采用比例积分控制；所有均匀控制都不需要加入微分控制。
控制器参数整定
- 简单均匀控制系统
  
  注意比例度要宽(𝜹要大)、积分时间要长(Ti要大) （人话，kp、ki 都给我调小一点）
- 串级均匀控制系统
  
  经验整定法：先副后主、由小到大，使被控变量的过渡过程曲线呈缓慢的非周期衰减过程。
  
  停留时间法：副控制器按经验法整定。测量正常流速下，被控变量允许变化范围（塔甲在液位上下限之间的有效容积）内流过所需要的时间 $\tau = \frac{V}{Q}$，$V$ 是容积，$Q$ 是正常流量。然后根据下表整定主控制器。

推断控制

真正的被控变量无法进行及时有效的测量，通过测量辅助变量并建立反馈控制系统来实现的控制策略叫推断控制。

利用可测输出z推断出不可测的y，进而进行控制。