我们已经学习了离散时间系统的建模、离散时间系统的分析。因此紧接着需要学习的就是，离散时间系统的控制设计。通过设计离散域中的控制器，使得系统满足我们的要求。
但是 digital controller 应该如何设计呢？我们还是按照一贯的思路，先看看连续时间系统那一套。在自动控制原理中，我们已经学习了如何设计控制器（补偿矫正、PID）使得系统满足设计要求。那么到离散域中，我们需要重新再来一遍吗？注意，离散时间系统实际上也是从连续时间系统中离散化得到的，所以我们只需针对离散时间系统对应的连续时间系统设计好模拟控制器，然后离散化成 digital controller。而针对连续时间系统设计模拟控制器是自动控制原理解决的问题，这里不再赘述。因此这一章解决的问题是，如何将 Analog Controller 离散化成 Digital Controller，并且保证两者在连续和离散域下的性质尽可能一致。（不可能使得离散后的控制器的性质和原本的完全一致的，除非采样时间 T 趋于 0，我们要做的就是尽可能保证相似）
Time-domain Invariance Method
首先可以从时域的角度来思考，怎样的 digital controller 和 analog controller 的性质会完全一致呢？
- 最天真的想法：对于任意同样的输入 $e(t)$，上述两个控制器的输出 $\hat{u}(t) = \bar{u}(t)$，那么两者性质完全一致。但显然不可能对吧！
- 稍微可行的想法：对于任意同样的输入 $e(t)$，上述两个控制器的输出 $\hat{u}(kT) = \bar{u}(kT) = u(kT)$ 在采样时刻相等，那么两者性质也是接近的。但要对所有的输入都保证，依旧是很难的。
- 可行的想法：对于特殊的输入 $e(t)$，上述两个控制器的输出 $\hat{u}(kT) = \bar{u}(kT) = u(kT)$ 在采样时刻相等，那么两者性质也还算得上是接近的。
那么考虑哪些特殊的输入呢？（step input、impulse input）
Step-invariance method
连续域和离散域下的阶跃响应分别如下：
\[\hat{U}(s) = D_a(s) \frac{1}{s} \quad \text{and} \quad U(z) = D(z) \frac{z}{z - 1}\]希望两者在采样时刻的值是一致的，则有：
\[D(z) \frac{z}{z - 1} = \mathcal{Z} \left[ D_a(s) \frac{1}{s} \right]\]因此就能够得到 Digital Controller 的表达式：
\[D(z) = (1-z^{-1}) \mathcal{Z} \left[ D_a(s) \frac{1}{s} \right]\]我们将这种离散化方法称为 ZOH approximation method（相当于 analog controller 和 ZOH 串联后做离散化）
- $D(z)$ 的极点除了 $(1-z^{-1})$ 带来的 $z=0$ 和 $\mathcal{Z} \left[ D_a(s) \frac{1}{s} \right]$ 中 $\frac{1}{s}$ 带来的 $z=\varepsilon^{0T} = 1$，剩余的极点都是 $D_a(s)$ 的极点通过 $z = \varepsilon^{sT}$ 映射得到的。
- $D(z)$ 与 $D_a(s)$ 的稳定性一致！
Impulse-invariance method
- $D_a(s)$ is strictly proper
连续域下的脉冲响应，就是控制器本身的传递函数：
\[\hat{U}(s) = D_a(s)\]但实际上脉冲信号是不可物理实现的，何况是在离散域下，因此脉冲信号本身是需要近似的：
\[\delta(kT) = \begin{cases} \frac{1}{T}, &k = 0 \\ 0, &k = 1, 2, \dots \end{cases} \\ \Rightarrow \mathcal{Z} \left[ \delta(t) \right] = \Sigma_{k=0}^{\infty} \delta(kT) z^{-k} = \frac{1}{T}\]因此，离散域下的脉冲响应为：
\[U(z) = \frac{1}{T}D(z)\]希望连续域和离散域下脉冲响应在采样时刻的值是一致的，则有：
\[\frac{1}{T}D(z) = \mathcal{Z} \left[ D_a(s) \right]\]因此就能够得到 Digital Controller 的表达式：
\[D(z) = T\mathcal{Z} \left[ D_a(s) \right]\]- $D_a(s)$ is not strictly proper
连续域下的脉冲响应，依旧就是控制器本身的传递函数：
\[\hat{U}(s) = D_a(s) = K + \bar{D}_a(s)\]其中，信号 $K$ 的拉氏反变换是 $K\delta(t)$ ，该信号在时域下采样是无意义的。解决方法就是要求 $D(z)$ 和 $D_a(s)$ 对于 $K$ 的频域响应是一致的，有：
\[D(z) = K + T\mathcal{Z} \left[ \bar{D}_a(s) \right]\]- $D(z)$ 的极点都是 $D_a(s)$ 的极点通过 $z = \varepsilon^{sT}$ 映射得到的
- $D(z)$ 与 $D_a(s)$ 的稳定性一致！
Frequency-domain Transformation Method
接着，可以从频域的角度来思考，如何将 Analog Controller 转换为 Digital Controller。
最简单的想法是，直接使用 s 平面与 z 平面之间的映射关系 $z = \varepsilon^{sT}$ 或 $s = \frac{ln(z)}{T}$，直接得到：
\[D(z) \leftarrow D_a(s)|_{s = \frac{ln(z)}{T}}\]但是，这得到的 $D(z)$ 并不是关于 $z$ 的有理表达式，并不适合离散系统的分析。因此，可能的解决方法就是对映射关系进行近似。
Forward Approximation
\[z = \varepsilon^{sT} \approx 1 + sT \Rightarrow s \approx \frac{z-1}{T}\]- 为什么称为 Forward Approximation，从积分控制器的角度解释
-
再看看如此变换下，极点映射如何：
\(z = 1 + sT = 1 + T(\sigma + j\omega)\)
Forward approximation 可能将一个 stable controller 𝐷(𝑠) 映射成一个 unstable 𝐷(𝑧)，不能保证稳定性一致
Backward Approximation
\[z^{-1} = \varepsilon^{-sT} \approx 1 - sT \Rightarrow s \approx \frac{z-1}{Tz}\]- 为什么称为 Backward Approximation，从积分控制器的角度解释
-
再看看如此变换下，极点映射如何：
\(\begin{aligned} z &= \frac{1}{1 - Ts} \\ &= \frac{1}{2} + \left[ \frac{1}{1 - Ts} - \frac{1}{2} \right] \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \frac{1 + Ts}{1 - Ts} \\ \left| z - \frac{1}{2} \right| &= \frac{1}{2} \left| \frac{1 + T\sigma + jT\omega}{1 - T\sigma - jT\omega} \right| = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{(1 + T\sigma)^2 + T^2\omega^2}}{\sqrt{(1 - T\sigma)^2 + T^2\omega^2}} \end{aligned}\)
Backward approximation 可能将一个 unstable controller 𝐷(𝑠) 映射成一个 stable 𝐷(𝑧)，不能保证稳定性一致
Bilinear transformation
\[z = \varepsilon^{Ts} = \frac{\varepsilon^{sT/2}}{\varepsilon^{-sT/2}} \approx \frac{1 + (T/2)s}{1 - (T/2)s} \Rightarrow s \approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}\]-
双线性变换也不是第一次接触了，这里同样从积分控制器的角度来看看它是怎样的：
\(Y(s) = \frac{1}{s}E(s) \Rightarrow Y(z) = \frac{T}{2}\frac{z+1}{z-1}E(z) = \frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}E(z) \Rightarrow y(kT) = y[(k-1)T] + \frac{T}{2}[e[(k-1)T] + e(kT)]\)
-
双线性变化能够将 s 域的稳定域完美映射到 z 域的稳定域
因此，Bilinear transformation 能够保证变换前后控制器稳定性一致
Pre-warp
bilinear transformation 是实际中将模拟控制器变换为数字控制器用的最多的方法。但是也有一个问题，频率折叠（frequency warping）
\[\begin{aligned} D\left(\varepsilon^{j\omega_z T}\right) &= \left.D_a(s)\right|_{s=\frac{2}{T}\frac{\varepsilon^{j\omega_z T} - 1}{\varepsilon^{j\omega_z T} + 1}} \\ &= \left.D_a(s)\right|_{s=\frac{2}{T}\left(\frac{\varepsilon^{j\omega_z T/2} - \varepsilon^{-j\omega_z T/2}}{\varepsilon^{j\omega_z T/2} + \varepsilon^{-j\omega_z T/2}}\right)} \\ &= \left.D_a(s)\right|_{s=j\frac{2}{T}\tan\left(\frac{\omega_z T}{2}\right)} \end{aligned}\] \[\omega_s = \frac{2}{T} \tan \left( \frac{\omega_z T}{2} \right)\]
-
我们可以强制地将某一个特殊的频率对齐
\[\begin{aligned} s &= \alpha \frac{z - 1}{z + 1} \\ D\left(\varepsilon^{j\omega_0 T}\right) &= \left.D(s)\right|_{s=\alpha \frac{\varepsilon^{j\omega_0 T} - 1}{\varepsilon^{j\omega_0 T} + 1}} \\ &= \left.D(s)\right|_{s=j\alpha \tan\left(\frac{\omega_0 T}{2}\right)} \end{aligned}\] \[\text{let } \omega_0 = \alpha \tan\left(\frac{\omega_0 T}{2}\right) \Rightarrow \alpha = \frac{\omega_0}{ \tan\left(\frac{\omega_0 T}{2}\right)}\] \[D(z) = \left.D(s)\right|_{s=\frac{\omega_0}{\tan(\omega_0 T/2)} \frac{z - 1}{z + 1}}\]如此变换，就能够保证在特殊频率 $w_0$ 上模拟控制器和数字控制器的频率响应是一致的
Discretizing State-variable Models
本文在此之前，对于系统的建模都是经典的系统框图，因此对于数字控制器的设计也都是基于经典的自动控制原理。同样，我们可以从现代控制理论的角度进行系统建模，也就是建立状态空间模型。现代控制理论研究的是连续时间系统下的状态模型，因此想要设计离散状态空间模型中的控制器，首先需要得到离散的状态空间模型：
\[\begin{aligned} \mathbf{x}(k + 1) &= \mathbf{A}\mathbf{x}(k) + \mathbf{B}\mathbf{e}(k) \\ \hat{\mathbf{u}}(k) &= \mathbf{C}\mathbf{x}(k) + \mathbf{D}\mathbf{e}(k) \end{aligned}\]同样，我们遵循一开始的思路，将 Analog Controller 离散化成 Digital Controller，想办法将连续的状态空间模型尽可能保持性质的离散化成离散的状态空间模型即可：
\[\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A}_a \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}_a \mathbf{e}(t) \\ \hat{\mathbf{u}}(t) &= \mathbf{C}_a \mathbf{x}(t) + \mathbf{D}_a \mathbf{e}(t) \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} s\mathbf{X}(s) &= \mathbf{A}_a \mathbf{X}(s) + \mathbf{B}_a \mathbf{E}(s) \\ \hat{\mathbf{U}}(s) &= \mathbf{C}_a \mathbf{X}(s) + \mathbf{D}_a \mathbf{E}(s) \end{aligned}\]我们可以尝试直接使用 Frequency-domain Transformation Method 对连续状态空间模型进行离散化：
-
Forward Approximation $s \approx \frac{z-1}{T}$
\[\begin{aligned} s\mathbf{X}(s) &= \mathbf{A}_a \mathbf{X}(s) + \mathbf{B}_a \mathbf{E}(s) \\ \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned} \frac{z-1}{T}\mathbf{X}(z) &= \mathbf{A}_a \mathbf{X}(z) + \mathbf{B}_a \mathbf{E}(z) \\ \end{aligned}\] \[\begin{cases} \mathbf{x}(k + 1) &= (\mathbf{I} + \mathbf{A}_a T) \mathbf{x}(k) + \mathbf{B}_a T \mathbf{e}(k) \\ \hat{\mathbf{u}}(k) &= \mathbf{C}_a \mathbf{x}(k) + \mathbf{D}_a \mathbf{e}(k) \end{cases}\] -
Backward Approximation $s \approx \frac{z-1}{Tz}$
\[\begin{aligned} \begin{aligned} s\mathbf{X}(s) &= \mathbf{A}_a \mathbf{X}(s) + \mathbf{B}_a \mathbf{E}(s) \\ \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad& \begin{aligned} \frac{z-1}{Tz}\mathbf{X}(z) &= \mathbf{A}_a \mathbf{X}(z) + \mathbf{B}_a \mathbf{E}(z) \\ \end{aligned} \\ \Rightarrow \quad& \begin{aligned} \mathbf{x}(k+1)- \mathbf{x}(k)&= \mathbf{A}_a T\mathbf{x}(k+1) + \mathbf{B}_a T\mathbf{e}(k+1) \\ \end{aligned} \\ \end{aligned}\] \[\text{let } \mathbf{w}(k) \triangleq (\mathbf{I} - \mathbf{A}_a T) \mathbf{x}(k) - \mathbf{B} T \mathbf{e}(k)\] \[\begin{cases} \mathbf{w}(k + 1) &= (\mathbf{I} - \mathbf{A}_a T)^{-1} \mathbf{w}(k) + (\mathbf{I} - \mathbf{A}_a T)^{-1} \mathbf{B}_a T \mathbf{e}(k) \\ \hat{\mathbf{u}}(k) &= \mathbf{C}_a (\mathbf{I} - \mathbf{A}_a T)^{-1} \mathbf{w}(k) + [\mathbf{D}_a + \mathbf{C}_a (\mathbf{I} - \mathbf{A}_a T)^{-1} \mathbf{B}_a T] \mathbf{e}(k) \end{cases}\] -
Bilinear Transform $s \approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}$
\[\begin{aligned} \begin{aligned} s\mathbf{X}(s) &= \mathbf{A}_a \mathbf{X}(s) + \mathbf{B}_a \mathbf{E}(s) \\ \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad& \begin{aligned} \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}\mathbf{X}(z) &= \mathbf{A}_a \mathbf{X}(z) + \mathbf{B}_a \mathbf{E}(z) \\ \end{aligned} \\ \Rightarrow \quad& \begin{aligned} 2\mathbf{x}(k+1)- 2\mathbf{x}(k)&= \mathbf{A}_a T[\mathbf{x}(k+1)+\mathbf{x}(k)] + \mathbf{B}_a T[\mathbf{e}(k+1)+\mathbf{e}(k)] \\ \end{aligned} \\ \end{aligned}\] \[\text{let } \mathbf{w}(k) \triangleq \left(\mathbf{I} - \frac{\mathbf{A}_a T}{2}\right) \mathbf{x}(k) - \frac{\mathbf{B} T}{2} \mathbf{e}(k)\] \[\begin{cases} \mathbf{w}(k + 1) &= \left(\mathbf{I} + \frac{\mathbf{A}_a T}{2}\right) \left(\mathbf{I} - \frac{\mathbf{A}_a T}{2}\right)^{-1} \mathbf{w}(k) + \left(\mathbf{I} - \frac{\mathbf{A}_a T}{2}\right)^{-1} \mathbf{B}_a T \mathbf{e}(k) \\ \hat{\mathbf{u}}(k) &= \mathbf{C}_a \left(\mathbf{I} - \frac{\mathbf{A}_a T}{2}\right)^{-1} \mathbf{w}(k) + \left[\mathbf{D}_a + \mathbf{C}_a \left(\mathbf{I} - \frac{\mathbf{A}_a T}{2}\right)^{-1} \frac{\mathbf{B}_a T}{2}\right] \mathbf{e}(k) \end{cases}\]
上述三种方法都是近似离散，实际上并不能保证前后性质的一致。
- 现代控制理论为我们提供了将连续状态空间离散化的精确方法：
