在这一章中，我们将介绍系统稳定性的分析方法。相对于自动控制原理中，对于传递函数的稳定性分析，这一章将针对状态空间模型的系统建模方式，给出相应的更加全面的系统稳定性分析方法。
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Stability
事实上，稳定性是有不同的定义的，或者说不同层次的稳定性：
- External Stability：外部稳定，仅关注系统的输入和输出之间的关系，通常所说的 BIBO 稳定（传递函数），是外部稳定。
- Internal Stability：内部稳定，关注系统中的每一个状态量，是系统状态的稳定性，相对于外部稳定，内部稳定的要求是更高的
- 定理：一个 SISO 系统是 BIBO 稳定的，当且仅当该系统闭环传递函数的极点的实部均小于等于 0
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定理：一个线性系统是内部稳定的，当且仅当该系统中任意两点间的传递函数是 BIBO 稳定的。
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外部稳定但是内部不稳定的例子：
\[\begin{aligned} \dot{x} &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2.5 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u \\ y &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} x \end{aligned}\] \[g(s) = \boldsymbol{c}(s\boldsymbol{I} - \boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b} = \frac{s - 2.5}{(s + 1)(s - 2.5)} = \frac{1}{s + 1}\]很明显，从传递函数看是稳定的（外部稳定），但是状态量 $x_2$ 是不收敛的，因此不是内部稳定的
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需要注意的是
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外部稳定所关注的问题是，当系统的输入是有界时，系统的输出是否有界。
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内部稳定所关注的问题是，当系统状态因为扰动从稳态离开后，能否回到稳态或是维持在稳态附近。实际上研究的是系统稳态的稳定性。因此研究的其实是系统零输入响应的稳定性：
\[\dot{x} = f(x, t) \quad x(t_0) = x_0, \, t \geq t_0\]
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李雅普诺夫稳定
考虑自治系统
\[\dot{x} = f(x, t) \quad x(t_0) = x_0, \, t \geq t_0\]我们称系统状态的运动 $x(t)$ 为扰动运动（perturbed motion），即 $x(t) = \phi(t; x_0, t_0)$
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稳态：
$x_e$ 是该自治系统的稳态或者是稳定点，当且仅当对于任意时刻 $t$，均有
\[f(x_e, t) \equiv 0\]- 对于 LTI 系统，如果 A 可逆，则稳态唯一；如果 A 不可逆，则稳态无穷多（基础解系）
- 对于非线性系统，系统可能有唯一稳态、可能有多个稳态、可能没有稳态
- 对于任意孤立的稳态点，我们都能通过适当的坐标变换，将稳态点转移到原点位置。本文接下来考虑的所有稳定性问题都指的是原点稳定性问题。
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稳定（Stable）：
数学表述：对于任意ε>0，存在δ(ε，t₀)>0，当|x₀|<δ时，有|φ(t；x₀，t₀)|<ε，对所有t≥t₀成立
人话：系统受到小的初始扰动后，其状态轨迹能够一直保持在某个小范围内，不会偏离平衡点太远。
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一致稳定（Uniformly Stable）：
数学表述：在满足李雅普诺夫稳定（Stable）的基础上，如果δ(ε，t₀)的选择与t₀无关，则为一致稳定
人话：任意时刻的受扰运动，都是李雅普诺夫稳定的。
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渐近稳定（Asymptotically Stable）：
数学表述：在满足李雅普诺夫稳定（Stable）的基础上，当t→∞时，有φ(t；x₀，t₀)→0
人话：系统不仅能够保持在平衡点附近，而且最终能够回到平衡点。
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不稳定（Unstable）：
数学表述：稳定的否命题
人话：系统受到一些小的初始扰动后，其状态轨迹会趋于发散，逐渐远离平衡点
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大范围渐近稳定（globally asymptotically）：
数学表述：对于任意初始条件x₀，都有limₜ→∞φ(t；x₀，t₀)=0
人话：无论系统从状态空间中的哪个点出发，最终都会收敛到平衡点
- 必要条件：状态空间中只有一个稳定点
- 对于线性系统而言，若其稳定点是渐进稳定的，那么它必然是大范围渐近稳定的。
稳定性判据
连续时间系统（自治系统）：
- LTI 系统 $\dot{x} = Ax$ 是内部稳定的，当且仅当 $A$ 的所有特征值是实部小于等于 0。如果存在特征值的实部为 0，则该特征值不能出现在 Jordan block 中
- LTI 系统 $\dot{x} = Ax$ 是李雅普诺夫渐近稳定的，当且仅当 $A$ 的所有特征值是实部小于 0。（线性系统渐近稳定，则大范围渐近稳定）
对于 LTI 系统，渐近稳定是要求最高的。如果渐近稳定，则必定内部稳定、BIBO稳定。
离散时间系统（自治系统）：
\[\begin{cases} x(k+1) = G(T)x(k) \\ y(k) = Cx(k) \end{cases}\]- LTI 离散系统是内部稳定的，当且仅当 $G$ 的所有特征值的幅值小于等于 1。如果存在特征值的幅值为 1，则该特征值不能出现在 Jordan block 中
- LTI 离散系统是李雅普诺夫渐近稳定的，当且仅当 $G$ 的所有特征值的幅值小于 1。
李雅普诺夫稳定判据
连续时间系统
实际上，我们现在已经掌握了一种自治系统的稳定性判据，即特征值法（依据特征值来判定）。但很遗憾的是，这种方法的泛化性不强：在低阶的系统中，求取特征值是可行的，但对于高阶系统，求取特征值将会变得非常复杂与繁琐。
因此，有没有一种新的方法，能够普适的、简便的来判定自治系统的李雅普诺夫稳定性？李雅普诺夫本人，给出了李雅普诺夫稳定判据（李雅普诺夫第二方法）。（李雅普诺夫第一方法是求解系统微分方程，不具备普适性）
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Lyapunov stability theorem
当系统状态在稳态点 $x_e$ 附近，如果存在一个李雅普诺夫函数 $V(x)$ 满足
- $V(x)$ 是正定函数
- $\dot{V}(x)$ 是负定函数
则该系统是渐近稳定的。
（这是一个充分条件，你可能找不到这样的一个李雅普诺夫函数，但不能说明该系统一定不稳定）
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Lyapunov global asymptotic stability theorem
系统的稳态点 $x_e$ 位于原点，如果存在一个一阶微分连续的李雅普诺夫函数 $V(x, t)$ 满足
- $V(x)$ 是正定函数
- $\dot{V}(x)$ 是半负定函数
- 在系统的任意运动轨迹上，除了原点，$\dot{V}(x)$ 不能恒等于0
- 当 $|x| \rightarrow \infty$，$V(x, t) \rightarrow \infty$
则系统的稳态点是大范围渐近稳定的
（这同样是一个充分条件，你可能找不到这样的一个李雅普诺夫函数，但不能说明该系统一定不稳定）
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Lyapunov instability theorem
系统 $\dot{x}(t) = f(x(t), t)$ 的稳态点位于原点，如果存在一个李雅普诺夫函数 $V(x)$ 满足
- $V(x)$ 是正定函数，在稳态点附近
- $\dot{V}(x)$ 是证定函数，在同样的区域
则该系统的稳态点是不稳定的
现在还剩哪些问题呢？
- 上述的三个定理，都是充分条件，得看你找不找得到相应的李雅普诺夫函数
- 没有给出一个李雅普诺夫函数的具体构造方法
因此，下面将给出充分必要条件以及相应的李雅普诺夫函数构造方法。
因为要求李雅普诺夫函数是正定的，因此一般的形式为正定二次型 $V(x) = x^TPx$ （当然可以不是二次型，这里也是考虑特殊形式）。
那么对应的，$\dot{V}(x) = x^T(A^TP + PA)x$，很显然如果 $Q = -(A^TP + PA)$ 是一个正定阵就好了。
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necessary and sufficient
对于稳态点 $x_e$ 位于原点的 LTI 系统，系统是渐近稳定的，当且仅当，对于任意的正定实对称阵 $Q$，李雅普诺夫等式
\[A^TP+PA = -Q \quad \text{(usually let Q = I)}\]有唯一的正定对称解 $P$。
\[A^TP+PA = -I \\ \Rightarrow P = \int_0^\infty e^{A^Tt}Qe^{At} dt\]该方法既能够判定一个系统是否是渐进稳定的，同时附带的给出了李雅普诺夫函数的构造方式。
离散时间系统
对于离散时间系统，同样存在相似的充分必要判据
\[\begin{cases} x(k+1) = G(T)x(k) \\ y(k) = Cx(k) \end{cases}\]-
necessary and sufficient
对于稳态点 $x_e$ 位于原点的系统，系统是渐近稳定的，当且仅当，对于任意的正定实对称阵 $Q$，离散李雅普诺夫等式
\[G^TPG-G = -Q \quad \text{(usually let Q = I)}\]有唯一的正定对称解 $P$。
非线性系统
对于非线性系统，仅存在相似的充分判据
\[\dot{x} = f(x)\]雅可比矩阵：
\[J(x) = \frac{\partial f(x)}{\partial x^T} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}\]-
sufficient theorem
非线性系统位于原点的稳态点是渐近稳定的，当对于任意的正定对称阵 $P$，
\[Q = -[J^T(x)P + PJ(x)]\]是正定的。同时，相应的李雅普诺夫函数是
\[V(x) = \dot{x}^TP\dot{x} = f^T(x)Pf(x)\]进一步，当 $|x| \rightarrow \infty$，$V(x) \rightarrow \infty$，则该系统是大范围渐近稳定的。
参数优化问题
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Problem
考虑系统
\[\dot{x} = A(\alpha)x, \quad x(0)=x_0\]选择合适的参数 $\alpha$，使得系统渐近稳定，同时最小化以下表达式：
\[J = \int_0^\infty x^TQxdt\]其中 $Q$ 是已知的对称正定阵。
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Answer
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使用充要条件来保证系统渐近稳定
对于任意选取的对称正定阵 $R$，要求 $A^T(\alpha)P + PA(\alpha) = -R$ 有唯一的对称正定解 $P$，则
\[V(x) = x^TPx, \quad \frac{dV(x)}{dt} = -x^TRx \\ \int_0^\infty -x^TRxdt = \int_0^\infty \frac{dV(x)}{dt} dt = -V(0) = -x_0^TPx_0\]令 $R=Q$，则
\[J = \int_0^\infty x^TQxdt = x_0^TPx_0\] -
问题转换
\[min \quad J = x_0^TPx_0 \\ s.t. \quad A^T(\alpha)P + PA(\alpha) = -Q\]
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