【现代控制理论】3-Controllability and Observability

在上一章节中我们已经讨论了对于状态空间模型的系统响应分析，对于以下的状态空间表达式：

\[\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}\]

在已知系统初始状态 $x(0)$ 与系统的控制输入 $u(t)$，我们可以得到它的系统响应：

\[x(t) = e^{At}x(0) + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) d\tau\]

OK，我们已经学会了建立系统、分析系统，紧接着是不是应该尝试控制系统、观测系统？那么，紧接着我们需要回答以下两个问题：

1. 状态能控性问题：在有限时间内，系统的控制输入能否使得系统从初始状态转移到指定要求的状态

   能控才能进一步实现最优控制，其揭示的是系统输入对于系统状态的控制能力

2. 状态能观性问题：在有限时间内，能否通过系统的输出来估计系统在各时刻状态

   能观才能进一步实现反馈控制，其揭示的是系统输出对于系统状态的观测能力

Controllability

• Definition

  考虑一个 n 维状态、p 维输入的系统：

  \[\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)\]

  System $(A, B)$ is said to be controllable if for any initial state $x(0) = x_0$ and any final state $x_1$, there exists a input that drives $x_0$ to $x_1$ in a finite time.

  \[\forall x_0, x_1 \in \mathbb{R}^n , \ \exists t_1 > 0, \ \exists u(t), \ t \in [0, t_1], \text{ such that }\\ x_1 = e^{At_1} x_0 + \int_{0}^{t_1} e^{A(t_1-\tau)} B u(\tau) \mathrm{d}\tau\]

那么如何使得能控性定义中的等式成立呢？前人提出了一个非常巧妙的想法：

\[\text{let } u(t) = -B^T e^{A^T(t_1 - t)} W_c^{-1}(t_1) \left( e^{At_1} x_0 - x_1 \right), \\ \text{where } W_c(t) = \int_{0}^{t} e^{A\tau} BB^T e^{A^T \tau} \mathrm{d}\tau = \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} BB^T e^{A^T (t-\tau)} \mathrm{d}\tau.\]

这样是不是就实现了，系统的能控性呢？注意，需要考虑 $W_c(t)$ 的可逆性！（$W_c(t)$ 为能控格拉姆矩阵）

• 定理 1：系统 $(A,B)$ 是能控的，当且仅当 $W_c(t) \in R^{n \times n}$ 在任意时刻 $t>0$ 是可逆的（非奇异的）

  充分性：

  \[\begin{align*} x(t_1) &= e^{At_1} x_0 + \int_{0}^{t_1} e^{A(t_1 - \tau)} Bu(\tau) \mathrm{d}\tau \\ &= e^{At_1} x_0 - \int_{0}^{t_1} e^{A(t_1 - \tau)} BB^T e^{A^T (t_1 - \tau)} W_c^{-1} (t_1) \left( e^{At_1} x_0 - x_1 \right) \mathrm{d}\tau \\ &= e^{At_1} x_0 - \left( \int_{0}^{t_1} e^{A(t_1 - \tau)} BB^T e^{A^T (t_1 - \tau)} \mathrm{d}\tau \right) W_c^{-1} (t_1) \left( e^{At_1} x_0 - x_1 \right) \\ &= e^{At_1} x_0 - e^{At_1} x_0 + x_1 = x_1 \end{align*}\]

  必要性：

  （假设系统 $(A，B)$ 是能控的，但是 $W_c(t_1)$ 是奇异的）

  因为 $W_c(t_1)$ 是奇异的，因此存在非零向量 $v$ 使得：

  \[v^T W_c(t_1) v = \int_{0}^{t_1} v^T e^{A(t_1 - \tau)} BB^T e^{A^T (t_1 - \tau)} \mathrm{d}\tau = \int_{0}^{t_1} ||B^T e^{A^T (t_1 - \tau)} v||^2 \mathrm{d}\tau = 0\]

  进一步可以得到，$B^T e^{A^T (t_1 - \tau)} v \equiv 0$ 或是 $v^T e^{A (t_1 - \tau)} B \equiv 0, \forall \tau \in [0, t_1]$

  因为系统 $(A,B)$ 是能控的，设系统的初始状态为 $x_0 = e^{-At_1}v$，系统的目标状态为 $x(t_1) = 0$

  \[x(t_1) = e^{At_1} x_0 + \int_{0}^{t_1} e^{A(t_1 - \tau)} Bu(\tau) \mathrm{d}\tau = v + \int_{0}^{t_1} e^{A(t_1 - \tau)} Bu(\tau) \mathrm{d}\tau = 0\]

  两边左乘 $v^T$，可以得到：

  \[0 = v^T v + \int_{0}^{t_1} v^T e^{A(t_1 - \tau)} Bu(\tau) \mathrm{d}\tau = ||v||^2 + 0\]

  这与 $v$ 为非零向量矛盾！

• 定理 2：系统 $(A,B)$ 是能控的，当且仅当 $G_c = [B \ AB \ A^2B \ \cdots \ A^{n-1}B] \in R^{n \times np}$ 是行满秩的

  充分性：如果不可控，则不满秩

  由定理 1，若系统不可控，则 $W_c(t)$ 是奇异的。因此存在非零向量 $v$ 使得：

  \[ve^{At} B = vB + vtAB + v \frac{t^2}{2!} A^2 B + \cdots = 0\]

  考虑 $t=0$，有 $vB = 0$

  等式两边求导，再考虑 $t=0$，有 $vAB = vA^2B = \cdots = vA^{n-1}B = 0$

  进而得到 $v [B \ AB \ A^2B \ \cdots \ A^{n-1}B] = 0$，故 $G_c$ 非行满秩！

  必要性：如果不满秩，则不可控

  因为 $G_c$ 不满秩，则存在非零向量 $v$ 使得 $vG_c$ = 0 或 $vB = vAB = vA^2B = \cdots = vA^{n-1}B = 0$

  由上一章提到的 Cayley–Hamilton Theorem method：

  \[e^{At} = \alpha_0(t)I + \alpha_1(t)A + \alpha_2(t)A^2 + \cdots + \alpha_{n-1}(t)A^{n-1}\]

  所以 $e^{At}B = [B \ AB \ A^2B \ \cdots \ A^{n-1}B] [\alpha_0(t) \ \alpha_1(t) \ \cdots \ \alpha_{n-1}(t)]^T$

  进而 $ve^{At}B = 0$，则 $W_c(t)$ 是奇异的。故系统 $(A,B)$ 是不可控的！

• 定理 3：系统 $(A,B)$ 是能控的，当且仅当对于 $A$ 的任意特征值 $\lambda$， $rank[\lambda I - A \ B] = n$

  必要性：如果不满秩，则不可控

  因为 $rank[\lambda I - A \ B] < n$，则存在非零向量 $v$ 使得 $v[\lambda I - A \ B] = 0$，即 $vA = \lambda v, \ vB = 0$

  所以有 $vAB = \lambda vB = 0, \cdots, vA^{n-1}B = \lambda^{n-1}vB = 0$，即 $v[B \ AB \ A^2B \ \cdots \ A^{n-1}B] = 0$

  由定理 2，可知系统是不可控的！

  充分性：如果不可控，则不满秩

  （省略，好像不好证）

上述的三个定理，在说明系统可控的同时，都是为了使得控制器 $u(t) = -B^T e^{A^T(t_1 - t)} W_c^{-1}(t_1) \left( e^{At_1} x_0 - x_1 \right)$ 成立。但是这是一个开环控制器，且涉及矩阵积分，是一个对参数敏感且复杂的控制器，在实际应用中几乎不会使用。

一个更有效的方法是，采用简单的线性反馈控制器 $u = r - Kx$，使得系统状态渐进地趋于目标状态。

Observability

首先，能观性问题考虑能否通过系统的输出来估计系统在各时刻状态，实际上只用估计系统初始时刻的状态，就能根据系统的控制输入推断各时刻状态。在系统能否观测这个问题中，系统的输出 $y(t)$ 是可以测量的，系统的控制输入 $u(t)$ 也是已知的。因此，考虑输出方程：

\[y(t) = Cx(t) + Du(t) = Ce^{At} x_0 + C \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) \mathrm{d}\tau + Du(t)\]

进而，可以定义：

\[\bar{y}(t) = y(t) - C \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) \mathrm{d}\tau - Du(t) = Ce^{At} x_0\]

甚至可以直接将控制输入 $u \equiv 0$（系统的输入不改变系统的能观测性），则直接有：

\[\bar{y}(t) = y(t)= Ce^{At} x_0\]

因此，能否从系统输出 $\bar{y} \text{ or } y$ 中观测得到系统的初始状态量，取决于 $A \text{ and } C$。

• Definition：

  The system is said to be observable if for any unknown initial state $x(0)$, there exists a finite $t_1 > 0$ such that $x(0)$ can be exactly determined over $[0, t_1]$ from $u$ and $y$.

  （当然，实际中会将 $u \equiv 0$，则只考虑 $y$）

那么，如何使得系统可观测呢？参考能控性的巧妙想法（构造一个可逆方阵），这里同样可以提供一个非常巧妙的 idea：

\[\text{let } W_o(t) = \int_{0}^{t} e^{A^T\tau} C^TC e^{A\tau} \mathrm{d}\tau \\\]

• 定理 1：系统 $(A,C)$ 是可观的，当且仅当矩阵 $W_o(t) \in R^{n \times n}$ 在任意时刻 $t>0$ 是非奇异的

  充分性：如果是非奇异的，则客观

  \[\begin{align} &y(t) = Ce^{At} x_0 \\ \Rightarrow &e^{A^Tt} C^T y(t) = e^{A^Tt} C^TCe^{At} x_0 \\ \Rightarrow &\int_{0}^{t_1} e^{A^Tt} C^T y(t)\mathrm{d}t = \int_{0}^{t_1} e^{A^Tt} C^TCe^{At} x_0 \mathrm{d}t = W_o(t_1) x_0 \\ &\text{If } W_o(t_1) \text{ is not singular, then} \\ \Rightarrow & x_0 = W_o^{-1}(t_1) \int_{0}^{t_1} e^{A^Tt} C^T y(t)\mathrm{d}t \end{align}\]

  必要性：如果是奇异的，则不客观

  因为 $W_o(t)$ 是奇异的，所以存在非零向量 $v$，使得 $Ce^{At}v = 0 \ \text{for all} \ t$

  则 $y(t) = Ce^{At}x_0 = Ce^{At}(x_0 + kv)$

  系统输出不能唯一确定系统的初始状态量，故系统不可观！

同样，可以仿照能控性的定理，继续给出能观性的等价定理：

• 定理 2：系统 $(A,C)$ 是可观的，当且仅当矩阵 $G_o = \begin{bmatrix} C \ CA \ \vdots \ CA^{n-1} \end{bmatrix}$ 是列满秩的
• 定理 3：系统 $(A,C)$ 是可观的，当且仅当对于 $A$ 的任意特征值 $\lambda$， $rank \begin{bmatrix} \lambda I -A \ C \end{bmatrix} = n$

同样的，上述三个定理在说明了系统能观性的同时，也给出了一种估计系统初始状态量的方法 $x_0 = W_o^{-1}(t_1) \int_{0}^{t_1} e^{A^Tt} C^T y(t)\mathrm{d}t$，同样的这是一种开环估计器，即根据已有信息一次性估计出来的，同样因为涉及积分，是一种参数敏感且复杂的状态估计器。

结构分解

根据上述两个小节，我们已经学会了如何判断一个系统是否是完全可观，或者是否是完全能控的。但是，我们往往会遇到部分能控或是部分可观的系统，在这些系统中，并不是所有的状态量都是能控或可观的。因此，可以通过线性变换的方式，对状态空间进行变换，使得能控或可观的状态量和不能控、不可观的状态量分解开来，那么将上述这种变换或分解为标准分解。

能控性分解

已知系统状态空间模型：

\[\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}\]

假设能控性矩阵 $G_c$ 的秩 $n_1 < n$，即系统并非完全能控。

• 定理 1： 存在非奇异的变换矩阵 $P$ ，对系统的状态空间表达式进行线性变换 $x = P\widetilde{x} $，

  \[\begin{cases} \dot{\widetilde{x}} = \widetilde{A}\,\widetilde{x} + \widetilde{B}\,u \\ y = \widetilde{C}\,\widetilde{x} \end{cases}\]

  其中

  \[\widetilde{A} = P^{-1} A P = \begin{bmatrix} \widetilde{A}_{11} & \widetilde{A}_{12} \\ \hdashline 0 & \widetilde{A}_{22} \end{bmatrix},\quad\widetilde{B} = P^{-1} B = \begin{bmatrix} \widetilde{B}_1 \\ \hdashline 0 \end{bmatrix},\quad\widetilde{C} = C P = \begin{bmatrix} \widetilde{C}_1 & \widetilde{C}_2 \end{bmatrix}\]

  此时，系统的前 $n_1$ 维构成了能控的子系统，后 $n-n_1$ 维为不能控系统：

  \[\dot{\tilde{x}}_1 = \widetilde{A}_{11}\,\tilde{x}_1 + \widetilde{A}_{12}\,\tilde{x}_2 + \widetilde{B}_1 u \\ \dot{\tilde{x}}_2 = \widetilde{A}_{22}\,\tilde{x}_2\]

  

• 变换矩阵 $P$ 的构造方式：
  1. 在能控性矩阵 $G_c = [B \ AB \ A^2B \ \cdots \ A^{n-1}B]$ 中选择 $n_1$ 个线性无关的列向量
  2. 将所得的列向量作为矩阵 $P$ 的前 $n_1$ 列，其余列可以在保证 $P$ 可逆的前提下任意选择

• 定理 2： 能控子系统的传递函数与原系统的传递函数一致。

  \[\begin{align} G(s) &= C(sI - A)^{-1}B = \widetilde{C}(sI - \widetilde{A})^{-1}\widetilde{B} \\ &= \begin{bmatrix} \widetilde{C}_1 & \widetilde{C}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} sI - \widetilde{A}_{11} & -\widetilde{A}_{12} \\ 0 & sI - \widetilde{A}_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \widetilde{B}_1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \widetilde{C}_1 [sI - \widetilde{A}_{11}]^{-1} \widetilde{B}_1 = \widetilde{G}_1(s) \end{align}\]

能观性分解

已知系统状态空间模型：

\[\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}\]

假设能观性矩阵 $G_o$ 的秩 $n_1 < n$，即系统并非完全能观。

• 定理 1： 存在非奇异的变换矩阵 $P$ ，对系统的状态空间表达式进行线性变换 $x = P\widetilde{x} $，

  \[\begin{cases} \dot{\widetilde{x}} = \widetilde{A}\,\widetilde{x} + \widetilde{B}\,u \\ y = \widetilde{C}\,\widetilde{x} \end{cases}\]

  其中

  \[\widetilde{A} = P^{-1} A P = \begin{bmatrix} \widetilde{A}_{11} & 0 \\ \hdashline \widetilde{A}_{21} & \widetilde{A}_{22} \end{bmatrix},\quad\widetilde{B} = P^{-1} B = \begin{bmatrix} \widetilde{B}_1 \\ \hdashline \widetilde{B}_2 \end{bmatrix},\quad\widetilde{C} = C P = \begin{bmatrix} \widetilde{C}_1 & 0 \end{bmatrix}\]

  此时，系统的前 $n_1$ 维构成了能观的子系统，后 $n-n_1$ 维为不能观系统：

  \[y = \widetilde{C}_1\widetilde{x}_1\]

  

• 变换矩阵 $P$ 的构造方式：

  1. 在能控性矩阵 $G_o = \begin{bmatrix} C \ CA \ \vdots \ CA^{n-1} \end{bmatrix}$ 中选择 $n_1$ 个线性无关的行向量
  2. 将所得的行向量作为矩阵 $P^{-1}$ 的前 $n_1$ 行，其余行可以在保证 $P^{-1}$ 可逆的前提下任意选择

• 定理 2： 能观子系统的传递函数与原系统的传递函数一致。

  \[\begin{align} G(s) &= C(sI - A)^{-1}B = \widetilde{C}(sI - \widetilde{A})^{-1}\widetilde{B} \\ &= \begin{bmatrix} \widetilde{C}_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} sI - \widetilde{A}_{11} & 0 \\ -\widetilde{A}_{21} & sI - \widetilde{A}_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \widetilde{B}_1 \\ \widetilde{B}_2 \end{bmatrix} \\ &= \widetilde{C}_1 [sI - \widetilde{A}_{11}]^{-1} \widetilde{B}_1 = \widetilde{G}_1(s) \end{align}\]

卡尔曼分解

能控性分解是将系统分为能控和不能控的部分，能观性分解是将系统分解为能观和不能观的部分，而卡尔曼分解则是将两者结合在一起，将系统划分为能控且能观、能控但不能观、不能控但能观、不能控且不能观四个部分。

• 定理： 对于既不完全能控又不完全能观的线性系统状态空间表达式

  \[\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}\]

  经过线性变换，可以化为下列形式：

  \[\begin{bmatrix} \dot{\tilde{x}}_1 \\ \dot{\tilde{x}}_2 \\ \dot{\tilde{x}}_3 \\ \dot{\tilde{x}}_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \widetilde{A}_{11} & 0 & \widetilde{A}_{13} & 0 \\ \widetilde{A}_{12} & \widetilde{A}_{22} & \widetilde{A}_{23} & \widetilde{A}_{24} \\ 0 & 0 & \widetilde{A}_{33} & 0 \\ 0 & 0 & \widetilde{A}_{43} & \widetilde{A}_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{x}_1 \\ \tilde{x}_2 \\ \tilde{x}_3 \\ \tilde{x}_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \widetilde{B}_1 \\ \widetilde{B}_2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u\] \[y = \begin{bmatrix} \widetilde{C}_1 & 0 & \widetilde{C}_3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{x}_1 \\ \tilde{x}_2 \\ \tilde{x}_3 \\ \tilde{x}_4 \end{bmatrix}\]

  其中，$\tilde{x}_1$ 是既能控又能观的，$\tilde{x}_2$ 是能控但不能观的，$\tilde{x}_3$ 是不能控但能观的，$\tilde{x}_4$ 是既不能控又不能观的。

Minimal Realization

假设 $G(s)$ 是一个 proper rational transfer matrix。我们在第一章的时候就学习过，状态空间表达式和传递函数之间的关系：

\[G(s) = C(sI-A)^{-1}B+D\]

我们称 $(A,B,C,D)$ 是 $G(s)$ 的一种实现。很显然这种实现不是唯一的（我可以对状态方程进行线性变换，或给传递函数上下同乘某一项等等）。

我们称在所有实现中，唯独最低的 $(A,B,C,D)$ 状态空间表达式，为 $G(s)$ 的最小实现。（当然，最小实现也不是唯一的）

• 定理： $(A,B,C,D)$ 是最小实现，当且仅当系统 $(A,B)$ 能控，系统 $(A,C)$ 能观。

对于 proper rational 的传递函数 $G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{\beta_1 s^3 + \beta_2 s^2 + \beta_3 s + \beta_4}{s^4 + \alpha_1 s^3 + \alpha_2 s^2 + \alpha_3 s + \alpha_4}$，在所有实现中，有两种特殊的实现：能控标准型、能观标准型

• 能控标准型

  \[\dot{x} = \begin{bmatrix} -\alpha_1 & -\alpha_2 & -\alpha_3 & -\alpha_4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u \\ y = \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 \end{bmatrix} x + d u\]
  • 任何一个传递函数 $G(s)$ 都能被实现成一个能控系统（但不一定能观）
  • 能控系统能观，当且仅当传递函数的分子与分母互质（没有可以约分的项）（此时这是一种最小实现）

• 能观标准型

  \[\dot{x} = \begin{bmatrix} -\alpha_1 & 1 & 0 & 0 \\ -\alpha_2 & 0 & 1 & 0 \\ -\alpha_3 & 0 & 0 & 1 \\ -\alpha_4 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_4 \end{bmatrix} u \\ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} x + d u\]
  • 任何一个传递函数 $G(s)$ 都能被实现成一个能观系统（但不一定能控）
  • 能观系统能控，当且仅当传递函数的分子与分母互质（没有可以约分的项）（此时这是一种最小实现）

• 定理： 对于 SISO 系统，其状态空间表达式 $(A,b,c)$ 是能控且能观的（最小实现），当且仅当其转化成的传递函数不会出现零极点相消（转化成的传递函数分子和分母互质）

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