在上一章中，我们已经学习了如何分析涉及信号采样与重构的系统，即当一个系统中既有连续信号又有离散信号时，如何分析系统输入与系统输出之间的关系（求得类传递函数的关系）。但是不是够了呢？当然不是，在上一节课的分析全部是在 s 域中，因此分析结果往往包含 $[\cdot]^*$ 项，即 starred transform 项，这一项在系统分析中会有什么问题呢？
- $E^{\star}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) \varepsilon^{-nTs}$，在 starred transform 中存在非实数项 $\varepsilon^{-nTs}$，这一项往往在经过复杂运算后难以进行拉普拉斯反变换（可以通过时移性质来解决，但非实数项终究是不太容易处理）
- $E^{\star}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) \varepsilon^{-nTs}$ 包含无穷多个极点和零点，上一章也讲到，$E^{\star}(s)$ 沿虚轴方向是周期的。因此，无法使用零极点分析的方法来分析系统的性质。
因此，我们需要一种更好的分析方法，来分析涉及信号采样与重构的系统。可以采用 Z 变换。
Z Transform Method
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starred transform 可以无痛转换到 Z transform
\[E^{\star}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) \varepsilon^{-nTs} \\ \text{let} \quad z = \varepsilon^{Ts} \\ E(z) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) z^{-n}\]很轻松的转换成了 z 的无穷级数，并且是 rational function of z 。
\[E(z) = E^{\star}(s) \big|_{s = \frac{\ln z}{T}} \quad \text{or} \quad E^{\star}(s) = E(z) \big|_{z = \varepsilon^{Ts}}\] -
Example
由上一章的分析方法，我们可以得到：
\[C^*(s) = \frac{G^*(s)}{1 + G^*(s)} R^*(s)\]再根据上述的转换方法，可以得到 z 域下的关系式：
\[C(z) = \frac{G(z)}{1 + G(z)} R(z)\] -
Pulse transfer function 脉冲传递函数
我们将 z 域下的传递函数称为脉冲传递函数：
\[G_{pulse}(z) \triangleq \frac{C(z)}{R(z)}\]脉冲传递函数所表征的，是采样输入信号 $r(kT)$ 和输出信号在采样时刻的信号 $c(kT)$ 之间的关系。注意它并不包含输出信号在采样时刻之间的任何信息。
我们已经将 starred transform 项转换成了 z transform。但是注意到，在 sampled-data system 中，我们并不是所有时候都是从 starred transform 向 z transform 变换的，我们有时候是从一般的 s 域连续信号，向 z 域变换的。那么对于这种情况我们该如何应对？
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From $G(s)$ to $G(z)$
在 sampled-data system 中，$G(s)$ 一般可以表示为 $\left( \frac{1 - \varepsilon^{-sT}}{s} \right) G_p(s)$，即 ZOH 与 被控对象 相乘。一般而言，从 s 域转换为 z 域需要以下几个步骤：
- 拉氏反变换，得到时域信号 $g(t) = L^{-1}[\left( \frac{1 - \varepsilon^{-sT}}{s} \right) G_p(s)]$
- 对时域信号采样，得到采样信号 $g(kT), k = 0, 1, 2, \cdots$
- 对采样信号进行 z 变换，得到 z-transform 信号 $G(z) = Z[{g(kT)}] = \sum_{k=0}^\infty g(kT)z^{-k}$
我们将上述这三个步骤，用符号 $Z[]$ 表示，即 $G(z) = Z[G(s)]$。注意该符号内含了这三个步骤。（也有另一种理解，就是对 G(s) 做 starred transform 得到 G*(s)，然后无痛转到 G(z)，最后是一样的。）
\(G(z) = Z[\left( \frac{1 - \varepsilon^{-sT}}{s} \right) G_p(s)] = (1-z^{-1})Z[\frac{G_p(s)}{s}]\) 实际计算过程中，可以直接读表，不用真的去计算这三个步骤。
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Example
可以建模为：
\[\begin{align} &U(z) = E(z)D(z) \Leftrightarrow U^*(s) = E^{\star}(s)D^*(s) \\ &C(s) = G(s)U^*(s) \Rightarrow C^*(s) = G^*(s)U^*(s) \\ \Rightarrow &C(z) = Z[G(s)]U(Z) = (1-z^{-1})Z[\frac{G_p(s)}{s}]E(z)D(z) \end{align}\]
Discrete-Time Systems
这一小节，将给出离散时间系统的不同表示方式（注意不是 sampled-data system，sampled-data system 需要变换到 z 域下才能称之为离散时间系统）
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Difference equation or transfer function：
\[m(k) + a_{n-1} m(k-1) + \cdots + a_0 m(k-n) = b_n e(k) + b_{n-1} e(k-1) + \cdots + b_0 e(k-n)\]z 变换后可以得到脉冲传递函数：
\[D(z) = \frac{M(z)}{E(z)} = \frac{b_n + b_{n-1} z^{-1} + \cdots + b_0 z^{-n}}{1 + a_{n-1} z^{-1} + \cdots + a_0 z^{-n}}\]考虑一般的脉冲传递函数：
\[D(z) = \frac{b_n + b_{n-1} z^{-1} + \cdots + b_0 z^{-n}}{a_m + a_{m-1} z^{-1} + \cdots + a_0 z^{-m}}, \quad m, n \text{ are positive integers}\]需要考虑其物理可实现性，即输出信号不能依赖于未来时刻的输入信号。如果脉冲传递函数中分母的最高次≥分子的最高次，则称该传递函数为 $proper$；如果脉冲传递函数中分母的最高次严格大于分子的最高次，则称该传递函数为 $strictly \ proper$。只要脉冲传递函数是 $proper$，则其物理可实现。
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Simulation diagram
相当于框图法，同样有着三个基本单元：加法器、乘法器、时延器（连续时间系统中为积分器）。For example，
\(m(k) = b_1 e(k) - b_0 e(k-1) - a_0 m(k-1)\)
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Signal flow graph
信号流图的好处，就是可以使用梅森公式，系统化的求解离散时间系统的脉冲传递函数。
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State-variable method
建立状态空间模型，这一部分完全可以参照现代控制理论。包括最基本的如何从一般脉冲传递函数建立状态空间模型、脉冲传递函数串联或并联分解后如何建立状态空间模型，如何从状态空间模型反推出脉冲传递函数。完全可以类推。
