在上一章中，我们已经学习了信号的采样和重构。那么是时候来分析涉及信号采样与重构的系统了。在自动控制原理中，我们所学习的系统往往只是处理连续信号量的，如果一个系统中涉及信号的采样与重构，那么会出现既有离散信号又有连续信号的情况，这种系统我们称为 Sampled-Data System。而这连续与离散信号是很难在一种域（s域、z域）中分析的。那么这一章将给出这类系统的分析方法。
Block Diagram Analysis of Sampled-Data Systems
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Open-Loop Sampled-Data Systems
首先考虑简单的，开环采样信号系统（通常使用 ZOH）。
第一反应是，能不能找到信号 $E(s)$ 和 $C(s)$ 之间的传递函数，如果能，那么该系统的分析也就变成了对于系统传递函数的分析。可以吗？关键在于 $E(s)$ 和 $E^{\star}(s)$ 之间是否存在传递函数，答案是无。因为从 $E(s)$ 到 $E^{\star}(s)$ 经过了一个采样器 $T$，而很显然，这个采样器的隐藏含义是，将信号从连续转换为离散，因此是不能用传递函数表示这一过程的。
那么如何分析这个系统呢？既然无法找到 $E(s)$ 和 $C(s)$ 之间的传递函数，我们可以将 $E^{\star}(s)$ 视作系统的输入，尝试寻找 $E^{\star}(s)$ 和 $C(s)$ 之间的关系：
\[C(s) = E^{\star}(s) G(s)\]下面给出一条非常重要的公式：
\[\text{If} \ C(s) = E^{\star}(s) G(s), \quad \text{then} \ C^*(s) = E^{\star}(s) G^*(s)\]证明：
\[\begin{align} \text{已知：}&E^{\star}(s) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) \varepsilon^{-nTs} \\ &\Rightarrow C^*(s) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) \varepsilon^{-nTs}G(s) \\ &\Rightarrow c(t) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) g(t-nT) \\ &\Rightarrow c(kT) = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) g(kT-nT), \quad (\text{when } k \le n, \ g(kT-nT) = 0)\\ &\Rightarrow C^*(s) = \sum_{k=0}^{\infty} c(kT) \varepsilon^{-kTs} = \sum_{k=n}^{\infty} [\sum_{n=0}^{\infty} e(nT) g(kT-nT)] \varepsilon^{-kTs}, \quad \text{let k-n=m} \\ &\Rightarrow C^*(s) = \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} e(nT) g(mT) \varepsilon^{-(m+n)Ts} = \sum_{n=0}^{\infty} e(nT) \varepsilon^{-nTs}\sum_{m=0}^{\infty} g(mT) \varepsilon^{-mTs} \\ &\Rightarrow C^*(s) = E^{\star}(s)G^*(s) \end{align}\]同时要注意一些错误的变式：
\[\text{If} \ C(s) = E(s) G(s), \quad \text{then} \ C^*(s) = E^{\star}(s) G^*(s)\]注意上述这个式子是错误变式！！！！正确的如下：
\[\text{If} \ C(s) = E(s) G(s), \quad \text{then} \ C^*(s) = \bar{EG}^*(s)=[E(s)G(s)]^*\] -
Closed-Loop Sampled-Data Systems
接着可以讨论一下稍微复杂的闭环采样信号系统：
在开环采样信号系统中，我们的做法是，将 $E^{\star}(s)$ 视作系统的输入；实际上可以进一步规范化这个操作，进入 $T$ 的信号视作系统的输出信号，$T$ 输出的信号视作系统的输入信号。也就是说，现在系统有两个输入信号，即 $R(s)$ 和 $E^{\star}(s)$；系统有两个输出信号，即 $E(s)$ 和 $C(s)$。分析这个系统，只需列出从输入信号到输出信号的传递函数即可：
\[\begin{cases} C(s) = E^{\star}(s)G(s) \\ E(s) = R(s)-C(s)H(s) \\ \end{cases}\]会发现上述式子中，输入信号和输出信号并未解耦，需要适当的变换：
\[\begin{align} E(s) &= R(s) - E^{\star}(s)G(s)H(s) \\ E^{\star}(s) &= R^*(s) - E^{\star}(s)[G(s)H(s)]^* \\ \Rightarrow E^{\star}(s) &= \frac{R^*(s)}{1 + [G(s)H(s)]^*} \\ \Rightarrow C(s) &= \frac{R^*(s)G(s)}{1 + [G(s)H(s)]^*}, \quad C^*(s) = \frac{R^*(s)G^*(s)}{1 + [G(s)H(s)]^*} \end{align}\]
Sampled Signal Flow Graph
既然已经很好的分析了系统框图，为什么还需要分析信号流图？因为，当系统中存在多个采样器和环，单纯的系统框图分析将会变得困难，需要使用信号流图来分析（可以使用梅森公式）。
Example：
在上述系统框图中，有两个采样器 $T$，首先遵循进入 $T$ 的信号视作系统的输出信号，$T$ 输出的信号视作系统的输入信号这一原则，然后将系统框图化为信号流图：
接着，根据因果关系，列出 Cause-and-effect equations（输入输出方程）：
\[E_1 = R - G_2 E_2^*, \ E_2 = G_1 E_1^* - G_2 H E_2^*, \ C = G_2 E_2^*\]然后，等式两边做 starred transform：
\[E_1^* = R^* - G_2^* E_2^*, \quad E_2^* = G_1^* E_1^* - \overline{G_2 H}^* E_2^*, \quad C^* = G_2^* E_2^*\]然后根据 starred transform 后的等式，重新绘制 Sampled signal flow graph：
最后，根据梅森公式，求解系统真实输入和真实输出之间的关系:
\[C^* = \frac{G_1^* G_2^*}{1 + G_1^* G_2^* + \overline{G_2 H}^*} R^*, \quad C(s) = \frac{G_2(s) G_1^*(s)}{1 + G_1^*(s) G_2^*(s) + \overline{G_2 H}^*(s)} R^*(s)\]Mason’s Rule
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Mason’s Gain Formula: $G = \frac{1}{\Delta}\sum_{k=1}^NP_k\Delta_k$
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G = input-output transfer function
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N = nums of forward paths
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Pk = path gain of the kth forward path
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Δ = determinant of the graph
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Δk = cofactor of the kth forward path
- the determinant with the loops touching the kth forward path removed
- 从 $\Delta$ 可以得到 $\Delta_k$。观察第 k 条前向通路，和哪几个回路touching，将touching回路在 $\Delta$ 中对应的参数置零，就可得到 $\Delta_k$
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General Case:
- used to compute the linear dependence between the independent variable xi and a dependent variable xj.
- xi：source node, and often called the input variable
- xj
- xj is a sink node
- xj is a mixed node, add a branch with gain 1 to create a sink node
- you cannot use Mason rule directly when xi is not a source node
- used to compute the linear dependence between the independent variable xi and a dependent variable xj.
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How to use Mason’s Gain Formula
- 确定回路以及其回路增益 L
- $L_1 = -G_4H_1$
- $L_2 = -G_2G_7H_2$
- $L_3 = -G_2G_3G_4G_5H_2$
- $L_4 = -G_6G_4G_5H_2$
- 确定 non-touching 回路组合
- $L_1, L_2$
- 确定 $\Delta$
- $\Delta = 1 - (L_1 + L_2 + L_3 + L_4) + (L_1L_2)$
- 确定前向通路，以及对应的$\Delta_k$
- $P_1 = G_1G_2G_3G_4G_5, \Delta_1 = 1$
- $P_2 = G_1G_2G_7, \Delta_2 = 1-L_1$
- $P_3 = G_1G_6G_4G_5, \Delta_3 = 1$
- 代入公式
- 确定回路以及其回路增益 L
