Basic Concepts
现代控制理论相对于自动控制原理，在对于系统的描述中，引入了状态量（state variables），来进一步细节的描述系统。
- 系统量（System variables）：任何对于系统输入和初始状态有响应的变量
- 状态量（State variables）：线性独立的系统量的最小集合，系统输入和初始状态可以通过这些变量完全确定系统输出
对于一个系统，其状态量的数目的唯一的，可以有以下几个条件确定：
- 描述系统的微分方程的阶数
- 描述系统的传递函数的分母的阶数
- 系统中独立的储能元件个数
由状态量，可以进一步得到以下几个概念：
- 状态向量（State vector）：由状态量组成的 $n \times 1$ 的列向量
- 状态空间（State space）：由状态量构成的 $n$ 维空间
以及，最最最重要的状态空间方程（State-Space Equations），建立输入量、状态量、输出量之间的关系：
-
状态方程（State equation）：$\dot{x}(t) = f(x,u,t)$，即状态量的变化与当前状态量、当前输入量及时间相关
-
输出方程（Output equation）：$y(t) = g(x,u,t)$，即当前输出量与当前状态量、当前输入量及时间相关
以下是最 general 的矩阵表现形式： \(\begin{align} \mathbf{x}(t) &= \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u}, t) = \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n; u_1, u_2, \ldots, u_r; t) \\ f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n; u_1, u_2, \ldots, u_r; t) \\ \vdots \\ f_n(x_1, x_2, \ldots, x_n; u_1, u_2, \ldots, u_r; t) \end{bmatrix}, \\ \mathbf{y}(t) &= \begin{bmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \\ \vdots \\ y_m(t) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{g}(\mathbf{x}, \mathbf{u}, t) = \begin{bmatrix} g_1(x_1, x_2, \ldots, x_n; u_1, u_2, \ldots, u_r; t) \\ g_2(x_1, x_2, \ldots, x_n; u_1, u_2, \ldots, u_r; t) \\ \vdots \\ g_m(x_1, x_2, \ldots, x_n; u_1, u_2, \ldots, u_r; t) \end{bmatrix}. \end{align}\)
接着，可以引入一些条件来简化对于状态空间的建模，即简化状态空间方程：
-
如果，状态空间方程关于状态量是线性的（注意，状态量间的线性的，但状态空间方程不一定线性），那么可以化简为： \(\begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t)\mathbf{u}(t) \end{align}\)
-
如果，向量函数 $f$ 和 $g$ 与时间 $t$ 无关，或者矩阵 $A \ B \ C \ D$ 与时间 $t$ 无关，那么可以化简为： \(\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}\) 其中，$A$ 为状态矩阵（state matrix），$B$ 为输入矩阵（input matrix），$C$ 为输出矩阵（output matrix），$D$ 为直接传递矩阵（direct transfer matrix）
Establish State-space Model
那么如何根据一个实际的系统，来建立状态空间模型呢？首先，让我们回顾一下，在学习现代控制理论之前是如何描述一个实际系统的：在自动控制原理中，我们会使用方框图（Block Diagram Method）、传递函数（Transfer function method）；当然我们也可以根据物理学的知识，直接用牛顿定律或是电路理论来描述。那么，在这些已有的方法的基础上，我们很容易来建立状态空间模型。
Block Diagram Method
我先直截了当的给出，基于方框图建立状态空间模型的流程：
- 将方框图转化为标准形式，即由比例器、积分器、加法器构成的形式
- 选择积分器的输出信号作为状态变量
- 根据方框图的连接，写出状态变量相关的方程等式
- 将上述方程等式转换成标准的状态方程和输出方程
Example Step 1 & Step 2：
Step 3：
Step 4：
Physical Principles Analysis
同样，我先给出基于物理分析，建立状态空间模型的流程：
- 选择合适的物理变量作为状态变量
- 基于物理分析，建立状态变量之间的方程
- 转换为标准形式
在步骤一中，有一个小技巧。因为我们知道，对于一个系统，其状态量的数目等于系统中独立的储能元件个数，因此可以选择与独立储能元件相关的物理量作为状态变量，比如电容（U）、电感（I）、弹簧（x）、阻尼（v）。
Example
Step 1： Choosing state variables，$x_1 = i_L; \quad x_2 = u_c$
Step 2: \(\begin{align*} & i_L = (u - L \frac{di_L}{dt}) \frac{1}{R_1} + C \frac{du_C}{dt} \\ & L \frac{di_L}{dt} + C \frac{du_C}{dt} R_2 + u_C = u \end{align*}\)
Step 3: \(\begin{align*} \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -\frac{1}{L}\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} & -\frac{R_1}{L(R_1 + R_2)} \\ \frac{R}{C(R_1 + R_2)} & -\frac{1}{C(R_1 + R_2)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{L} \\ 0 \end{bmatrix} u \\ y &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \end{align*}\)
Transfer function method
基于传递函数，建立状态空间模型，较前两种方法而言，其更加抽象而复杂。因此我们先明确以下目标，我们需要基于微分方程 \(y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y^{(1)} + a_0y = b_mu^{(m)} + b_{m-1}u^{(m-1)} + \cdots + b_1u^{(1)} + b_0u\) 或传递函数 \(W(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0} \quad m \leq n\) 建立状态空间方程 \(\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}\) 注意，为使得系统有实际的意义，需要保证 $n \geq m$
Easy case
OK，接下来进入正题，首先考虑一个简单的传递函数（微分方程）：
\(\frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \cdots + \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_0 u\)
我们知道系统状态量的数目等于系统的微分方程的阶数，因此可以选择 n 个状态量：
\(\begin{align*}
x_1 &= y \\
x_2 &= \dot{y} \Rightarrow \dot{x}_1 = x_2 \\
&\vdots \\
x_n &= \frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} \Rightarrow \dot{x}_{n-1} = x_n \\
\dot{x}_n &= \frac{d^n y}{dt^n} = -a_0x_1 - a_1x_2 \cdots - a_{n-1}x_n + b_0u
\end{align*}\)
然后，我们就可以将上述式子整理成标准的状态空间方程：
$$
\frac{d}{dt}
\begin{bmatrix}
x_1
x_2
\vdots
x_{n-1}
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0
0 & 0 & 1 & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
-a_0 & -a_0 & -a_0 & \cdots & -a_0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1
x_2
\vdots
x_{n-1}
x_n
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0
0
\vdots
0
b_0
\end{bmatrix}
\
y =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1
x_2
\vdots
x_{n-1}
x_n
\end{bmatrix}
$$
Complex case
接着讨论一下复杂的情形： \(g(s) = \frac{\beta_1 s^{n-1} + \beta_2 s^{n-2} + \cdots + \beta_{n-1}s + \beta_n}{s^n + \alpha_1 s^{n-1} + \cdots + \alpha_{n-1}s + \alpha_n}\) 我们可以将这个传递函数按照下图，分解为两个部分：
首先，看左边第一部分的传递函数： \(&\frac{z(s)}{u(s)} = \frac{1}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1s + a_0} \\ \Rightarrow &z^{(n)} + a_{n-1}z^{(n-1)} + \cdots + a_1\dot{z} + a_0z = u\) 然后，看右边第二部分的传递函数： \(&\frac{y(s)}{z(s)} = \beta_{n-1}s^{n-1} + \cdots + \beta_1s + \beta_0 \\ \Rightarrow &y = \beta_{n-1}z^{(n-1)} + \cdots + \beta_1\dot{z} + \beta_0z\) 因此可以如下选择状态量，并建立方程： \(x_1 = z, x_2 = \dot{z}, x_3 = \ddot{z}, \cdots, x_n = z^{(n-1)}\\\)
\[\dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = x_3 \\ \vdots \\ \dot{x}_n = -a_0z - a_1\dot{z} - \cdots - a_{n-1}z^{(n-1)} + u \\ = -a_0x_1 - a_1x_2 - \cdots - a_{n-1}x_n + u\] \[y = \beta_0x_1 + \beta_1x_2 + \cdots + \beta_{n-1}x_n\]最后可以得到状态方程：
$$
\dot{x} = \left[\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0
0 & 0 & 1 & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
-a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1}
\end{array}\right] x + \left[\begin{array}{c}
0
0
\vdots
0
1
\end{array}\right] u\
y = \left[\begin{array}{cccc} b_0 & b_1 & \cdots & b_{n-1} \end{array}\right] x + d u $$ 该形式的状态空间模型被称为 “controllable canonical form”（非常非常重要啊！！！）
OK，上面已经给出了基于传递函数（微分方程）建立状态空间模型的方法。到这儿就结束了吗？NO，no，no！在上述的 Complex case 中，其实已经埋下了伏笔。我们是如何应对 Complex case 的，将传递函数分为分子和分母两部分处理。那么能不能有其他不同的分解方式，将复杂的传递函数分解为简单传递函数的组合呢？Of course！
Tandem decomposition 串联分解
\[\frac{Y(s)}{U(s)} = b_n \cdot \frac{s + z_1}{s + p_1} \cdot \frac{s + z_2}{s + p_2} \cdots \frac{s + z_n}{s + p_n}, (m = n)\\ \frac{Y(s)}{U(s)} = b_n \cdot \frac{s + z_1}{s + p_1} \cdot \frac{s + z_2}{s + p_2} \cdots \frac{s + z_m}{s + p_m} \cdot \frac{1}{s + p_{m+1}} \cdots \frac{1}{s + p_n}, (m \leq n)\]
接着，让我们看看每一项是如何转换的：
case 1：
\(\frac{Y_i(s)}{Y_{i-1}(s)} = \frac{1}{s + p_i} = \frac{\frac{1}{s}}{1 + \frac{p_i}{s}}\)
case 2：
\(\frac{Y_i(s)}{Y_{i-1}(s)} = \frac{s + z_i}{s + p_i} = 1 + \frac{z_i - p_i}{s + p_i}\)
注意，case 2 中的 $z_i - p_i$ 可以放在前面（对输入放缩）也可以放在后面（对输出放缩）。
Example：
\(\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_1(s - z_2)(s - z_3)}{(s - p_1)(s - p_2)(s - p_3)}\)
$$
\dot{x} = \left[\begin{array}{ccc}
p_1 & 0 & 0
1 & p_2 & 0
1 & p_2 - z_2 & p_3
\end{array}\right] x + \left[\begin{array}{c}
b_1
0
0
\end{array}\right] u\
y = \left[\begin{array}{ccc} 1 & p_2 - z_2 & p_3 - z_3 \end{array}\right] x $$
Parallel decomposition 并联分解
\[\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0} \\ \Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)} = \sum_{j=1}^{n} \frac{c_j}{s + p_j} + b_n \ (No \ repeated \ poles)\\ \Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)} = \sum_{i=1}^{k} \frac{c_i}{(s+p_1)^{k-i+1}} + \sum_{j=k+1}^{n} \frac{c_j}{s+p_j} + b_n \ (With \ repeated \ poles)\]No repeated poles： \(X_i(s) = \frac{1}{s - p_i} U(s), \quad i = 1, 2, \cdots, n \\ \dot{x}_i(t) = p_i x_i(t) + u(t), \quad i = 1, 2, \cdots, n \\ y(t) = c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + \cdots + c_n x_n(t) \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \vdots \\ \dot{x}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & p_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} u \\ y = \left[\begin{array}{cccc} c_1 & c_2 & \cdots & c_n \end{array}\right] x\) With repeated poles：
选择状态量： \(\left\{ \begin{aligned} X_1(s) &= \frac{U(s)}{(s - p_1)^r} \\ X_2(s) &= \frac{U(s)}{(s - p_1)^{r-1}} \\ &\vdots \\ X_r(s) &= \frac{U(s)}{s - p_1} \\ X_{r+1}(s) &= \frac{U(s)}{s - p_{r+1}} \\ &\vdots \\ X_n(s) &= \frac{U(s)}{s - p_n} \end{aligned} \right.\) 列出状态量的关系式： \(\left\{ \begin{aligned} X_1(s) &= \frac{1}{s - p_1} X_2(s) \\ X_2(s) &= \frac{1}{s - p_1} X_3(s) \\ &\vdots \\ X_{r-1}(s) &= \frac{1}{s - p_1} X_r(s) \\ X_r(s) &= \frac{1}{s - p_1} U(s) \\ X_{r+1}(s) &= \frac{1}{s - p_{r+1}} U(s) \\ &\vdots \\ X_n(s) &= \frac{1}{s - p_n} U(s) \end{aligned} \right.\)
\[\left\{ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= p_1 x_1 + x_2 \\ \dot{x}_2 &= p_1 x_2 + x_3 \\ &\vdots \\ \dot{x}_r &= p_1 x_r + u \\ \dot{x}_{r+1} &= p_{r+1} x_{r+1} + u \\ &\vdots \\ \dot{x}_n &= p_n x_n + u \end{aligned} \right. \\ y(t) = c_{11}x_1(t) + c_{12}x_2(t) + \cdots + c_{1r}x_r(t) + c_{r+1}x_{r+1}(t) + \cdots + c_nx_n(t)\]转换成标准形式： \(\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \vdots \\ \dot{x}_r \\ \dot{x}_{r+1} \\ \vdots \\ \dot{x}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p_1 & 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & p_1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & p_{r+1} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & p_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_r \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} u\)
\[y = \left[\begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1r} & c_{r+1} & \cdots &c_n \end{array}\right] x\]From SSM to G(s)
我们现在已经知道，如何基于传递函数来建立状态空间模型，那么能否反过来，已知状态空间模型来反推系统的传递函数呢？答案是肯定的。下面以 SISO system 为例： \(\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Du \end{cases}\) 通过拉氏变换，可以得到： \(sX(s) - x(0) = AX(s) + Bu(s) \\ Y(s) = CX(s) + Du(s)\) 通常，我们假设系统的初始状态量为0，那么可以得到： \(y(s)=[C(sI-A)^{-1}B+D]u(s)\) 所以，可以得到传递函数： \(G(s) = \frac{y(s)}{u(s)} = C(sI-A)^{-1}B+D = C\frac{adj(sI-A)}{|sI-A|}B + D\)
Composite System
Parallel connection
\[\Sigma_1: \left\{ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= A_1x_1 + B_1u_1 \\ y_1 &= C_1x_1 + D_1u_1 \end{aligned} \right. \\ \Sigma_2: \left\{ \begin{aligned} \dot{x}_2 &= A_2x_2 + B_2u_2 \\ y_2 &= C_2x_2 + D_2u_2 \end{aligned} \right.\]
SSM： \(\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \end{bmatrix} u\)
\[\begin{align} y &= y_1 + y_2 \\ &= (C_1x_1 + C_2x_2) + (D_1u + D_2u) \\ &= \begin{pmatrix} C_1 & C_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}^T + (D_1 + D_2)u \end{align}\]G(s)： \(G(s) = G_1(s) + G_2(s)\)
Series connection
\[\Sigma_1:\left\{\begin{aligned}\dot{x}_1 &= A_1x_1 + B_1u_1 \\y_1 &= C_1x_1 + D_1u_1\end{aligned}\right.\\\Sigma_2:\left\{\begin{aligned}\dot{x}_2 &= A_2x_2 + B_2u_2 \\y_2 &= C_2x_2 + D_2u_2\end{aligned}\right.\]
\(\dot{x}_1 = A_1x_1 + B_1u_1 \\
\dot{x}_2 = A_2x_2 + B_2y_1 = A_2x_2 + B_2(C_1x_1 + D_1u) \\
y_2 = C_2x_2 + D_2y_1 = C_2x_2 + D_2(C_1x_1 + D_1u) \\\)
SSM：
$$
\begin{bmatrix}
\dot{x}_1
\dot{x}_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A_1 & 0
B_2C_1 & A_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1
x_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
B_1
B_2D_1
\end{bmatrix}
u \
$$
\[y = \begin{bmatrix} D_2C_1 & C_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + D_2D_1u\]G(s)： \(G(s) = G_2(s)G_1(s)\)
Feedback
\[\Sigma_1:\left\{\begin{aligned}\dot{x}_1 &= A_1x_1 + B_1u_1 \\y_1 &= C_1x_1 \end{aligned}\right.\\\Sigma_2:\left\{\begin{aligned}\dot{x}_2 &= A_2x_2 + B_2u_2 \\y_2 &= C_2x_2 \end{aligned}\right.\]
\(\dot{x}_1 = A_1x_1 + B_1u_1 = A_1x_1 - B_1C_2x_2 + B_1u \\
\dot{x}_2 = A_2x_2 + B_2u_2 = A_5x_2 + B_2C_1x_1 \\
y = y_1 = C_1x_1 \\\)
SSM：
\(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 & -B_1C_2 \\ B_2C_1 & A_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\ 0 \end{bmatrix} u \\
y = \begin{bmatrix} C_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\)
G(s)：
\(G(s) = [I+G_1(s)G_2(s)]^{-1}G_1(s)\)
